SVD(奇异值分解)算法及其评估(6)

SVD算法的全面介绍

并形成：

u e( R,e Rn k) Hkkk 11k 11 H vAkkk 1

Ak 1

1n k 1

并形成：

使得 进行到k n 2之后，再计算m n 2阶Householder变换矩阵Pn 1

v e( R,e Rm n 2) P

n 1n 1

n 11

n 1

1

1 A n Pn 1n 1 v m n 1

n

使得 然后计算m n 1阶Householder变换矩阵Pn

v e( R,e Rm n 1)。 P

nnn1n1

现令

,k 2,...n Pk diagIk 1,PkHk

k

k

,k 1,2,...n 2 diag I,H

U1 PP12...Pn，V1 H1H2...Hn 2 1 2000

0 0023 B 00 0

000 n 0000 n

n

则有：

B

U1TAV1

0 m n

即实现了分解(3.1.1)。 将A二对角化以后，下一步任务就是对三对角矩阵T BTB进行带Wilkinson位移的对称QR迭代，这一步也可以不通过明确地将T计算出来而进行。 进行QR迭代的第一步是取矩阵T BTB的右下角2 2主子阵：

2

n2 1 n n 1 n 1

22 n n n 1 n

2

靠近 n2 n最近的特征值作为位移 ，这一步不需将T BTB计算出来。 第二步就是，确定Givens变换G1 G(1,2, )，其中c cos( ),s sin( )满足 cs 12 c s 12 sc

1 2 sc 1 2 0

这里 12 和 1 2是T I的第一列位于(1,1)和(1,2)位置的仅有的两个非零元素，这一步也不需先将T BTB计算出来。

T

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