SVD(奇异值分解)算法及其评估(5)

SVD算法的全面介绍

3.1：传统QR迭代算法[1,2,3] 设A Rm n(m n)，可知奇异值分解可从实对称矩阵C ATA的Schur分解导出[1]，因此我们自然想到先利用对称QR方法来实现C的Schur分解，然后借助C的Schur分解来实现A的奇异值分解，然而这样做有两个缺点：一是计算C ATA要很大的计算量；二是计算C ATA会引入较大的误差。因此Golub和Kahan在1965年提出了另一种十分稳定的方法，其基本思想就是隐含地应用对称QR算法于ATA上，而并不需要将C ATA计算出来。 方法第一步是：将A二对角化，即求正交矩阵U1和V1，使得

B T

U1AV1 ……(3.1.1)

0 m n

n

其中

1 2000 0 0023

B 00 0 ……(3.1.2)

000 n 0000 n

分解式(3.1.1)可以用Householder变换来实现，将A分块为 A v1A1

1n 1

先计算m阶Householder变换P1使得 并且形成：

m

Pv11 1e1( 1 R,e1 R)

T

u1 1

PA 11

1mA 1

使得 再计算n－1阶Householder变换H1

u e( R,e Rn 1) H

11

21

2

1

并形成：

H A11 v2A2

1n 2

然后对k 2,3,...,n 2依次进行：

使得 (a) 计算m-k+1阶Householder变换Pk

v e( R,e Rm k 1) P

kk

k1

k

1

并且形成：

T

1uk PkAk

m 1A k

使得 (b) 计算n－k阶Householder变换Hk

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