SVD(奇异值分解)算法及其评估(13)

SVD算法的全面介绍

h*c

文献[13]中还给出了随着迭代的进行而最终累积的误差所满足的两个定理： 定理3.2.1： 假设B是n阶的二对角矩阵，B 是对B进行一次零位移的QR迭代后得到的矩

是矩阵B 的奇异值；则当阵， 1 ... n是原矩阵的准确的奇异值，而 1 ... n

以下不等式成立时 69n2 1 则有以下式子满足：

i 1

由此可知用零位移QR迭代k次以后得到的矩阵Bk，其奇异值 k1 ... kn，有以下式子满足：

1

（当k 1时，可取近似式） i ki 1 i 69kn2 i，k

1

定理3.2.2： 假设B是n阶的二对角矩阵，B 是对B进行一次零位移的QR迭代后得到的矩

是矩阵B 的奇异值；并且阵， 1 ... n是原矩阵的准确的奇异值，而 1 ... n

i i

Givens变换时的旋转角 都满足sin2 1，则当以下不等式成立时

88n 1

(1 )2

则有以下式子满足：

i 1

由此可知用零位移QR迭代k次以后得到的矩阵Bk，其奇异值 k1 ... kn，有以下式子满足：

1 88kn

（当k 1时，可取近似式） i ki ，1

1 k i(1 )2i

而可知 的值在算法计算的过程中可以很容易地检测。

文献中[13]还分析了传统QR迭代算法不能得到满足精度的三个原因；首要的一条是判断收敛的依据。

假设已知B为n阶的二对角矩阵，对角元素为 1,..., n，非对角元素为 2,..., n；在软件包LINPACK中用到的判断对角元素为零的依据是：

if( i 1 i i i 1 i),

i i

then……(3.2.1)

i 0

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