解析几何不对称问题的处理方法

解析几何中的不对称问题

1.设A,B是以F为焦点的抛物线y2?4x上的两点,且AF?3FB,求弦AB的中点到准线的距离. 解:由AF?3FB可知焦点F在直线AB上,且直线AB与坐标轴不平行,故可设其方程为x?my?1,设点

A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则

由??x?my?12?y?4x得y2?4my?4?0.故有y1?y2?4m,y1y2??4.

由AF?3FB可得y1??3y2.

1(4m)24(y1?y2)2(?2y2)242m???故,.即.故可得. ???23?43y1y2?3y23 所以,弦AB的中点到准线的距离d?118((x1?1)?(x2?1))?(m(y1?y2)?4)?2m2?2?. 223注意:将直线与抛物线方程联立消去x后,通过AF?3FB建立纵坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在.

2.设直线l:x?y?1与双曲线x2?a2y2?a2(a?0)交于A,B两点,与y轴交于点P,且PA?实数a的值.

解:设点A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则 由?5PB,求12?x?y?1222?x?ay?a得(1?a)x?2ax?2a?0. 222222a22a2 故x1?x2??,x1x2??. 221?a1?a55PB可得x1?x2. 12122a2272(?)22(x1?x2)2(12x2)2892a289?????故.即1?a2. 252ax1x26021?a60x2?121?a2

17所以,由a?0可得a?.

135注意:将直线与双曲线方程联立消去y后,通过PA?PB建立横坐标间的等量关系,是本题简化计算的关

12 由PA?键所在.

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3.设点A,B在椭圆x2?2y2?2上,且点P(0,2)满足PA??PB,当??[,]时,求直线AB斜率的取值范围.

解:由题意知直线AB与坐标轴不平行,故可设其方程为y?kx?2,点A,B分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则

2334?y?kx?222由?2得(2k?1)y?4ky?6?0. 2?x?2y?2 故x1?x2??8k6xx?,. 122k2?12k2?1 由PA??PB可得x1??x2.

(x1?x2)2((1??)x2)2(1??)24925故,有???[,]. 2x1x2?x2?1268k2)232k249252k?1??[,]. 即,有263(2k?1)12622k?1(解得,k?[?

224.设点A,B在椭圆x?2y?2上,且点P(?2,0)满足PA??PB,当??[,]时,求直线AB斜率的取

514730730514,?][,]. 143030141153值范围.

解:由题意知直线AB与坐标轴不平行,故可设其方程为x?my?2,点A,B分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 由??x?my?222?x?2y?2得(2?m)y?4my?2?0.

22 故y1?y2?4m2yy?,. 122?m22?m2 由PA??PB可得y1??y2.

(y1?y2)2((1??)y2)2(1??)21636故,有???[,]. 2y1y2?y2?354m2)28m216362?m??[,]. 解得,m2?[4,18]. 即,有222?m352?m2(所以,直线AB的斜率为k?11221?[?,?][,]. m2662第 2 页 共 5 页

5.设F1,F2分别是椭圆x2?3y2?3的左右焦点,点A,B在椭圆上,且F1A?5F2B,求点A的坐标. 解:延长AF1交椭圆于点C,则由F1A?5F2B知F1A∥F2B,又由椭圆的对称性可得F2B?CF1,故有

F1A?5CF1.

由题意知直线AC与坐标轴不平行,设其方程为x?my?2,点A,C分别为A(x1,y1),C(x2,y2),则 由???x?my?222??x?3y?3得(3?m2)y2?22my?1?0.

故y1?y2?122myy??,.由F1A?5CF1得y1??5y2. 123?m23?m2(y1?y2)2(?4y2)216故,有. ???2y1y2?5y2522m2)28m21623?mm?2. 即,有. 解得,????213?m5?3?m21211??由y1y2??y1??得y1??1,故点A为A(0,?1).

53?m25(注意:(1)将直线与抛物线方程联立消去x后,通过F1A?5CF1建立纵坐标间的等量关系,是本题简化计算的关键所在；

(2)关注到过椭圆两焦点的平行直线关于坐标原点对称,并由椭圆的对称性进行转化是本题得以突破的关键所在.

6.设F1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆2x?3y?6c的左右焦点,过点E(3c,0)的直线l交椭圆于点A,B,

222l且F1A?2F2B,求直线的斜率.

解:延长AF1交椭圆于点C,则由椭圆的对称性知B,C两点关于坐标原点对称,再由F1A?2F2B可得

F1A?2CF1.

由题意知直线AC与坐标轴不平行,故设其方程为x?my?c,点A,C分别为A(x1,y1),C(x2,y2),则 由??x?my?c22?2x?3y?6c得(3?2m)y?4cmy?4c?0. 2222第 3 页 共 5 页

4cm4c2 故y1?y2?,y1y2??. 223?2m3?2m 由F1A?2CF1可得y1??2y2.

(y1?y2)2(?y2)21故,有. ???2y1y2?2y224cm2)214m2123?2mm?????即,有. 解得,. 2224c3?2m2?3?2m2(又由B,C两点关于坐标原点对称可得:直线l的斜率为

k?

y1?y2y1?y24cm2. ????x1?x2m(y1?y2)?2cm?4cm?2c?(3?2m2)37.设F1,F2分别是椭圆2x2?3y2?6的左右焦点,过点E(3,0)的直线l与椭圆交于A,B两点,且

F1A??F2B(???1),求直线l的方程.

??2. 解:由F1A∥F2B,且F1A??F2B(???1)知F1E??F2E,故

延长AF1交椭圆于点C,则由椭圆的对称性知B,C两点关于坐标原点对称,再由F1A?2F2B可得

F1A?2CF1.

由题意知直线AC与坐标轴不平行,设其方程为x?my?1,点A,C分别为A(x1,y1),C(x2,y2),则 由??x?my?122?2x?3y?6得(3?2m)y?4my?4?0.

22 故y1?y2?4m4yy??,. 123?2m23?2m2 由F1A?2CF1可得y1??2y2.

4m2)214m21(y1?y2)(?y2)123?2mm?????故,有. 即,有. 解得,. ???22423?2m2y1y2?2y22?23?2m22(又由B,C两点关于坐标原点对称可得:直线l的斜率为

k?y1?y2y1?y24m2. ????2x1?x2m(y1?y2)?2m?4m?2(3?2m)3第 4 页 共 5 页

故直线l的方程为y??2(x?3). 3x2y2a2说明:设F,0)的直线l与椭圆交于1(?c,0),F2(c,0)是椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点,过点E(abcbc2a2A,B两点,且F1A??F2B(???1),则??2?1,直线l的斜率为k??2,且过点(0,b)或(0,?b).

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