概率论重点及课后题答案3

第3章一维随机变量

一、大纲要求

（1）理解随机变量的概念.

（2）理解随机变量分布函数（F(x)?P{X?x}）的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率.

（3）理解离散型事件变量及其概率分布的概念，掌握0——1分布、二项分布、泊松分布及其应用.

（4）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系.

（5）掌握正态分布、均匀分布和指数分布及其应用. （6）会求简单随机变量函数的概率分布.

二、重点知识结构图

分布函数 定义 F(x)?P{X?x} F(x)是一个单调不减函数 性质 有界性0?F(x)?1，F(??)?1, F(??)?0左连续性F(x?0)?F(x) 0?1分布B(1,p) kk二项分布B(n,p)，P(X?k)?Cnp(1?p)n?k 常用分布 离散型 泊松分布P{X?k}??e几何分布P{X?k}?pqk??/k! k?1随机?1/(b?a),当a?x?b均匀分布 f(x)??连续型 变0,其他?量函2正态分布N(?,?) 数三、基础知识 的?e?x/?/?,当x?0指数分布f(x)?? 1.随机变量 分?0,当x?0布 定义如果对任意实数x有{w:X(w)?x}?F，则称定义在样本空间?上的实函a . 数X?X(w)是随机变量，其中w??通常用字母X、Y来表示随机变量。用字母x、y表示其取值.

定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{w:X(w)?x}称为随机变量X的分布函数.的分布函数也常简记为F(x)?P{X?x}

任一随机变量X的分布函数F(x)，x?(??，+?)，具有下列性质：

（1）单调不减性.若x1?x2，则F(x1)?F(x2). （2）limF(x)?F(??)?0;limF(x)?F(??)?1

x???x???（3）左连续性，对任意实数x0，有lim?F(x)?F(x0?0)?F(x0)

x?x02.离散型随机变量

定义有些随机变量，它全部的可能值只有有限个或者至多可列个，则称其为离散型随机变量.

离散型随机变量的概率分布{p1,p2,?,pn,?}必须满足两个条件： （1）pi?0（i?1,2,3,?）

（2）?pi?1，并且F(x)?P{X?x}??P{X?xi}??pi

i?1?xi?xxi?x（1）二项分布

在“成功”概率是p，即P(A)?p的n重伯努利试验中，事件A出现的次数X是二项分布随机变量，其可能取得的值是0,1,2,?,k,?,n 有分布律

kkn?kP{X?k}?Cnpq(0?p?1,0?k?n)

这个值也被记做b(k;n,p)，它正是二项式(px?q)n的展开式中xk的系数，因而X得名“二项分布”.常以X~B(n,p)表示X是参数为n和p的二项分布随机变量. 定理1 在n重伯努利试验中，事件A发生的次数在k1和k2之间的概率是

P{k1?X?k2}??b(k;n,p)

k?k1k2在n重伯努利试验中，事件A至少发生r次的概率是

P{X?r}?1??b(k;n,p)

k?0r?1特别是在n重伯努利试验中，事件A至少发生1次的概率是

P{X?1}?1?b(0;n,p)?1?qn

定理2设X~B(n,p)，则当k?ent[(n?1)p]时，b(k;n,p)的值最大.若(n?1)p为整数，则b(k;n,p)?b(k?1;n,p)同为最大值. （2）泊松分布

?k??01?若X~???? ??k??e?e??e/k!???则称X服从泊松分布，记为X~P(?)，参数?为强度.

定理3（泊松定理）设随机变量X服从二项分布B(n,p)（p?(0,1)，并与n有关），且满足limnp??，则

n??limP{X?k}?limCpqn??n??knkn?k??kk!e??(k?0,1,2,?)

（3）几何分布

定义如果随机变量X的分布列为

P{X?k}?pqk?1(k?1,2,?;q?1?p)

则称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为X~G(p). 3.连续型随机变量

定义若一个随机变量X的分布函数FX(x)可写成“变上限积分”的形式：

FX(x)?P{X?x}??fX(t)dt

??X则称X为连续型随机变量，称fX(x)为X的概率分布密度，简称密度函数. 密度函数的性质： （1）f(x)?0 （2）?????f(x)dx?1

分布函数的导函数（在连续点上）就是其密度函数，即

f(x)?dF(x) dx那么P{a?X?b}??fX(x)dx?F(b)?F(a)

ab（1）均匀分布

若一个连续型随机变量具有如下密度函数：

?1a?x?b? f(x)??b?a??0x?a,x?b则称X为服从[a,b]上均匀分布的随机变量，记为X~U(a,b)，其分布函数为

F(x)??x???0，x?a?x?a?f(x)dx??，a?x?b

b?a???1，x?b（2）指数分布

若一个连续型随机变量X具有如下的密度函数：

?ae?ax,x?0 f(x)???0,x?0则称X为带参数（a>0）的指数分布随机变量，记为X~E(a)，其分布函数为

F(x)??（3）正态分布 称概率密度为

x???1?e?ax当x?0 f(t)dt??当x?0?0f(x)?221e?(x??)/2?(???x???) ?2???0，的随机变量X服从正态分布（或高斯分布），记作X~N(?,?2)，其中，

?与?是常数，相应的分布函数是

F(x)?1?2??x??e?(x??)2/2?2dx

??1时，特别地，当??0，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N(0,1)，其密度函数和分布函数分别为

?(x)?1?x2/2(???x???) e2??(x)?四、典型例题

12??x??e?x/2dx

2例1 设随机变量X~N(?,?2)，则随?增大概率P?X?????应（）. （A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定

?X???解因P?X??????P??1???(1)??(?1)?2?(1)?1，此值不随?的变

???化而变化，故C项正确.

例2设10件产品中恰好有2件次品，现进行连续不放回地抽样，直到取到正品为止.试求：（1）抽样次数X的分布；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{X?3.5}；

P{X??2}；P{1?X?3}.

解依题意知：X是离散随机变量.因为只有2件次品，所以最多抽取3次就可以取到正品.因此X的可能取值为1,2,3. （1）P{X?1}?842?882?1?81?，P{X?2}???，P{X?3}?， 10510?94510?9?845故X的分布列为

（2）X的分布函数为

xi

1 2

3

P{X?xi} 4/5 8/45 1/45

当x?1?0?4/5 当1?x?2? F(x)?P{X?x}???44/55 当2?x?3?当x?3?1（3）P{X?3.5}?0，

P{X??2}?P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?1， P{1?X?3}?P{X?2}?8/45. 例3设随机变量X的概率密度为

?Ax?1 当0?x?2 f(x)??0其他?试求：（1）A值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5?X?2.5}.

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