概率论与数理统计徐雅静版课后题答案1--7章

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习题答案 第1章 三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，

即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.

4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C121225C4(C2)+C5 其中：C12125C4(C2)为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：k?C15?C118?C62!+C25

1

2

11C8?C6 其中：C?为恰有1双配对的方法数

2!15法三：分两种情况考虑：k?C5(C8?C4)+C5 其中：C5(C8?C4)为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C5C8-C5

14法五：考虑对立事件：k?C10-C5(C2)

441212121122 其中：C5(C2)为没有一双配对的方法数

1111C10?C8?C6?C4法六：考虑对立事件：k?C?

4!4101111C10?C8?C6?C4 其中：为没有一双配对的方法数

4!414所求概率为p?k13?. 421C10 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

12C3A5C5211? 解：(1) 法一：p?3?，法二：p? 3C101212A10122C3A4C411? (2) 法二：p?3?，法二：p? 3A1020C1020 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

231C32?A4A4C4391P(M)??P(M1)?3?, P(M2)??, 33341616844 8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

112C32C3C2C2?0.6,P(M1)?2?0.1 P(M2)?2?0.3,P(M1)?C52C5C5

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

M?M1?M2且M1?M2??.

2

3

22C5C313. 所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?2?2?C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此

1?4?1????A的面积17． 2?5?P(A)????的面积1252图？

11．随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域

的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率． 4 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此

1212a??aA的面积2114P(A)????．

12?的面积?2?a22ax?x2}

?” 42ax?x2,0????4}

12．已知P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?，求P(A?B)． 432P(AB)111111???, ??,P(B)?P(A|B)12264312 解：P(AB)?P(A)P(BA)? P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1111???. 46123 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

3

4

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

2C622C42P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，

C1015C103P(B|A)?P(AB)P(B)221??/?

P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

1C232P(A)?1?,P(A)?，由全概率公式得

5C55113C52C423P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??1??1?,

5C95C945由贝叶斯公式得

1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)???1/?.

P(B)5C94523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?所以

2. 31P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,

3由贝叶斯公式得

P(M|N)?

P(M)P(N|M)221196??0.98?(?0.98??0.01)?.

P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)333197 16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,此密码译出的概率是多少？ 4

111，问三人中至少有一人能将

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解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?111423,P(A2)?,P(A3)?,所以P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?, 534534至少有一人能将此密码译出的概率为

42331?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1????.

5345 17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)P(B)?1??1?P(B)?1?0.5?0.5. P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？

解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以

P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.

P(A|M)?P(AM)P(A)P(M|A)1?0.6???0.75

P(M)P(M)0.8 19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：

(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.

（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

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