第九章 相量法

《电工基础》

第九章 相量法

1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。

2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。

3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。

1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。

2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。

序号 1 2 内 容 第一节 复数的概念 第二节 复数的四则运算 第三节 正弦量的复数表示法 第四节 复数形式的欧姆定律 第五节 复阻抗的连接 本章小结与习题 本章总学时 学 时 1 1 1 2 2 1 8

3 4 5 6 7 第一节 复数的概念

一、虚数单位

参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个 复数平面上定义虚数单位为

j??1

即

j2 = ?1，j3 = ? j，j4 = 1

虚数单位j又叫做90?旋转因子。

图9-1 在复平面上表示复数

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二、复数的表达式

一个复数Z有以下四种表达式。

1．直角坐标式(代数式)

Z = a + jb

式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。

在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。

2．三角函数式

在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为 ?，因此可以写成

Z = a + jb = |Z|(cos? ? jsin?)

式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即

r ?|Z|?a2?b2

? 叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出

??arctanb (a?0)a??b??????arctan (a?0 ， b?0)

a??b????arctan (a?0 ， b?0)?a?复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。

3．指数式

利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即

Z =|Z|(cos? ? jsin?) =|Z|ej?

4．极坐标式(相量式)

复数的指数式还可以改写成极坐标式，即

Z =|Z|/?

以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。 【例9-1】将下列复数改写成极坐标式： (1) Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = ?j9；(4) Z4 = ?10；(5) Z 5 = 3 ? j4；(6) Z6 = 8 ? j6；(7) Z7 = ? 6 ? j8；(8) Z8 = ? 8 ? j6。

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解：利用关系式Z = a + jb =|Z|/? ，|Z|=a2?b2，? = arctan

b，计算如下： a(1) Z1= 2 = 2/0? (2) Z2 = j5 = 5/90? (j代表90?旋转因子，即将“5”作反时针旋转90?)

(3) Z3 = ? j9 = 9/?90? (－j代表－90?旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90?) (4) Z4= ?10 = 10/180?或10/?180? (“?”号代表 ?180?)

(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1? (6) Z6 = 8 ? j6 = 10/?36.9?

(7) Z7 = ? 6 + j8 = ? (6 ? j8) = ?(10/? 53.1?) = 10/180?? 53.1? = 10/126.9? (8) Z8 = ? 8 ? j6 = ? (8 + j6) = ? (10/36.9?) = 10/?180? + 36.9? = 10/?143.1?。 【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)： (1) Z1= 20/53.1?；(2) Z2 = 10/? 36.9?；(3) Z3 = 50/120?； (4) Z4 = 8/? 120?。 解：利用关系式Z = |Z|/? =|Z|(cos? + jsin?) = a + jb计算：

(1) Z1= 20/53.1? = 20(cos53.1? + jsin53.1?) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16 (2) Z2 = 10/?36.9? = 10(cos36.9? ? jsin36.9?) = 10(0.8 ?j0.6) = 8 ? j6

(3) Z3 = 50/120? = 50(cos120? + jsin120?) = 50(? 0.5 + j0.866) = ? 25 + j43.3 (4) Z4 = 8/? 120? = 8(cos120? ? jsin120?) = 8(? 0.5 ? j0.866) = ? 4 ? j6.928

第二节 复数的四则运算

设Z1= a + jb =|Z1|/? ，Z2 = c + jd = |Z2|/? ，复数的运算规则为 1．加减法 Z1 ? Z2 = (a ? c) + j(b ? d) 2．乘法 Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/? + ? 3．除法

Z1Z1?/? ? ? Z2Z2n4．乘方 Z1n?Z1/n? 【例9-3】已知 Z1= 8 ? j6， Z2 = 3 ? j4。试求：(1) Z1 ? Z2；(2) Z1 ? Z2；(3) Z1 · Z2；(4) Z1 / Z2。

解：(1) Z1 + Z2 = (8 ? j6) + (3 + j4) = 11 ? j2 = 11.18/?10.3? (2) Z1 ? Z2 = (8 ? j6) ? (3 ? j4) = 5 ? j10 = 11.18/? 63.4? (3) Z1 · Z2 = (10/? 36.9?) ? (5/53.1?) = 50/16.2?

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(4) Z1 / Z2 = (10/? 36.9?) ? (5/53.1?) = 2/? 90?

第三节 正弦量的复数表示法

正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。

正弦电流i = Imsin(? t ? ?i)的相量表达式为

??Imej?i?I/?i I2正弦电压u = Umsin(? t ? ?u)的相量表达式为

??Umej?i= U/?u U2

【例9-4】把正弦量u = 311sin(314t ? 30?) V， i = 4.24sin(314t ? 45?) A用相量表示。

解：(1) 正弦电压u的有效值为U = 0.7071 ? 311 = 220 V，初相 ?u = 30?，所以它的相量为

??U/?u = 220/30? V U (2) 正弦电流i的有效值为I = 0.7071 ? 4.24 = 3 A，初相?i = ?45?，所以它的相量为 I=I/?i = 3/?45? A

【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表 达式表示，设角频率均为?： ??120/?37? V ； (2) I??5/60? A 。 (1) U 解: u =1202sin(? t ? 37?) V，i = 52sin(? t + 60?) A 。

【例9-6】已知 i1 =32sin(? t ? 30?) A， i2 = 42sin(? t ? 60?) A。 试求：i1 ? i2。 解: 首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即

??3/30? A = 3(cos30? + jsin30?) = 2.598 ? j1.5 A I1 ??4/?60? A = 4(cos60? ? jsin60?) = 2 ? j3.464 A I2??I??4.598 ? j1.964 = 5/?23.1? A 然后作复数加法：I12

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最后将结果还原成正弦量：i1 ? i2 =52sin(? t ? 23.1?) A

第四节 复数形式的欧姆定律

一、复数形式的欧姆定律

定义复阻抗为

Z??U?|Z|/? ?IU为阻抗大小，? = ?u ? ?i为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式I的欧姆定律为

???U 或 U??ZI? IZ图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 其中Z?二、电阻、电感和电容的复阻抗

1．电阻R的复阻抗

ZR = R = R/ 0? ??RI? URR 2．电感L的复阻抗

ZL = XL/ 90? = jXL = j?L

??ZI???ULLL?jXLIL?j?LIL

3．电容C的复阻抗

图9-2 复数形式的欧姆定律

1 ?C??ZI???jXI???j1I? UCCCCCC?C ZC = XC/?90? = ?j XC = ?j第五节 复阻抗的连接

一、阻抗的串联

如图9-3所示阻抗串联电路。

n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗

Z = Z1 ? Z2 ? … ? Zn

例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR = R， ZL = jXL，ZC = ?jXC，则

图9-3 阻抗串联电路

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