2018-2019学年高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数作业2

方法方加加减减3.3 计算导数

[A.基础达标]

1．下列运算正确的是( ) A．(x)′＝xln 5 C．(π)′＝5π

5

4

5

4

5

5

1

B．(lg x)′＝ xD．(log2x)′＝

1 xln 2

1lg e

＝，不正确；对xln 10x解析：选D.对A，(x)′＝5x，不正确；对B，(lg x)′＝C，(π)′＝0，不正确；对D，(log2x)′＝

5

1

，正确． xln 2

a2．已知f(x)＝x，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5

aa－1

解析：选A.由f(x)＝x，可得f′(x)＝ax，

a－1

所以f′(－1)＝a(－1)＝－4，所以a＝4. 3．已知f(x)＝ln x，则f(1)＋f′(1)＝( ) A．1 B．－2 C．0 D．2

1

解析：选A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，

x所以f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.

23

4．如果函数f(x)＝x，g(x)＝x，f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝( ) 1＋71－7A. B.

33C.

1±7

3

D．不存在

2

1±7

，所以选C. 3

5．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )

x3

A．f(x)＝e B．f(x)＝x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x

解析：选D.若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1， 解析：选C.f′(x)－g′(x)＝2x－3x＝－2，所以x＝

1xx32

因为A项中，(e)′＝e＞0，B项中，(x)′＝3x≥0，C项中，x＞0，即(ln x)′＝＞x0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.

6．若f(x)＝tan x，f′(x0)＝1，则x0的值为________．

1

解析：因为f′(x)＝(tan x)′＝2，f′(x0)＝1，

cosx所以cos x0＝±1，所以x0＝kπ，k∈Z. 答案：kπ，k∈Z

x7．若指数函数f(x)＝a(x＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝________.

ln 3－1

解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f′(－1)＝3ln 3＝.

3

1

方法方加加减减ln 3答案： 3

8．设余弦曲线y＝cos x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．

解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，所以直线l的

π3π

倾斜角范围是[0，]∪[，π)．

44π3π

答案：[0，]∪[，π)

441

9．求曲线y＝与抛物线y＝x的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．

x1??y＝x13解：由?，得＝x，所以x＝1，

x??y＝x所以x＝1，y＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1)． 1－1－2

由y＝，得y′＝(x)′＝－x，

x所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝－1.

1

11

又由y＝x，得y′＝(x2)′＝x－，

22

1

所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝.

2

432

10．已知函数f(x)＝x＋ax－a，试求常数a的值，使f′(x)＝0且f(x)＝0.

3

f（x＋Δx）－f（x）

解：f′(x)＝Δlim x→0Δx?（x＋Δx）3＋a（x＋Δx）2－4a－?x3＋ax2－4a??

???3??3???

＝Δlim x→0Δx22323xΔx＋3x（Δx）＋（Δx）＋2ax（Δx）＋a（Δx）＝Δlim x→0Δx22

＝Δlim (3x＋2ax＋3x(Δx)＋(Δx)＋a(Δx)) x→0＝3x＋2ax.

2令f′(x)＝0，得x＝0或－a.

3

由题设知：当x＝0时， f(0)＝0，

4

所以－a＝0，所以a＝0；

32?2?当x＝－a时， f?－a?＝0， 3?3?2?3?2?24?所以?－a?＋a?－a?－a＝0， ?3??3?342

所以a(a－9)＝0，所以a＝0或a＝±3.

27

故当a＝0或±3时，f′(x)＝0且f(x)＝0.

[B.能力提升]

n＋1

1．设曲线f(x)＝x(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于( )

2

2

方法方加加减减1

A.

nB.

1 n＋1

C.

nn＋1

nD．1

解析：选B.因为f′(x)＝(n＋1)x，所以f′(1)＝n＋1，过(1，1)的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

nn123n1

令y＝0得x＝，即xn＝，故x1·x2·…·xn＝×××…×＝. n＋1n＋1234n＋1n＋1

2

2．已知函数f(x)＝x的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )

?3?A.?－，3? B．(0，－4) ?2?

1??C．(2，3) D.?1，－? 4??

22

解析：选D.由题意知，A(x1，x1)，B(x2，x2)，f′(x)＝2x， 则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2. 又因为两切线互相垂直，

1

所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.

4

22

两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x1，l2：y＝2x2x－x2， 联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.

x1＋x2

因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，

2

1

解得y＝x1x2＝－，故选D.

4－x3．若曲线y＝e上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

1?1??1?－x解析：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝??＝??ln ＝－e.

e?e??e?

所以在P点处的切线斜率为－e，由题意－e＝－2，即e＝2，x0＝－ln 2，y0＝e

－x0ln 2

＝e＝2，故点P的坐标为(－ln 2，2)． 答案：(－ln 2，2)

?ln x，x>0，?

4．设函数f(x)＝?D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处

?－2x－1，x≤0，?

的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．

解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.

答案：2

5．求证双曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．

11

证明：由xy＝1，得y＝，所以y′＝－2.

－x0

－x0

－x0

xxxx1??在双曲线xy＝1上任取一点P?x0，?， x?

0

?

1

则在点P处的切线斜率k＝－2. x0

1112

切线方程为y－＝－2(x－x0)，即y＝－2x＋.

x0x0x0x0

设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，

3

方法方加加减减21

则A(2x0，0)，B(0，)，故S△OAB＝|OA|·|OB|

x02

1?2?＝|2x0|·??＝2， 2?x0?

所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数． 6．(选做题)讨论关于x的方程ln x＝kx的解的个数．

解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．

设直线y＝kx与y＝ln x相切于P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0.

因为(ln x)′＝1x，所以k＝1

x，kx0＝1＝ln x0.

0

所以x，k＝1

0＝ee

.

结合图像可知：当k≤0或k＝1

e

时，方程ln x＝kx有一解．

当0

e时，方程ln x＝kx有两解．

当k>1

e

时，方程ln x＝kx无解．

4

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