一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题

一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题 湖南省浏阳第一中学 叶运平 410300 中心词：过原点两直线、齐次式 高考 定点

高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次y 式（亲，估计您从未见识过）。 A 一、引理：过原点两直线与二次曲线

B 一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；

设直线AB方程为y?kx ① ?m曲线方程为ax=0 ② ?by?cxy?dx?ey?f22O x （说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有xy项，即c?0）

将①化为1?将1?y?kx222, ②化为ax?by?cxy?dx?1?ey?1?f?1?0 ③ my?kx代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得： my?kxy?kxy?kx2ax2?by2?cxy?dx??ey??f?()?0 ④

mmm22显然④是一个二次齐次式，且一定可化为Ay?Bxy?Cx?0 即：A(y)2?B(y)?C?0 ⑤

xx⑤中

y的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OBx的斜率，设为 k1,k2。

BC 由韦达定理知k 1?k2??,k1?k2? AA

从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。

下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。

二、应用举例

例1.抛物线y?2px,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过x轴上一定点。

分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。 解：设AB：x?my?n( ?显然AB不能横着） ①

2 。 抛物线：y2?2px ②

x?my代入②（目的化为二次齐次式）得 nx?myx?my22?0 ③ y?2px? 即y?2px?nn ①化为1? ③可化为Ay2?Bxy?Cx2?0

A(y)2?B(y)?C?0 其中A?1 C??xx2p n ? kOA?kOB?C2p?? 又kOA?kOB??1（因OA与OB垂直） An?n?2p， ? AB恒过点（2p ．0)

说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！

下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。

例2。点p(x0，y0)是抛物线y?2px上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。

分析：注意到PA?PB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。 解：平移坐标系，使P 为原点，则 旧坐标系 新坐标系 在新坐标系下，设AB:x?ny?m ①

抛物线(y?y0)2?2p(x?x0)可化为y?2y0y?2px?0 ② （注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项） 把①化为1?22点P 点O 抛物线 (x0,y0) (0,0) (0,0) y2?2px (?x0,?y0) (y?y0)2?2p(x?x0) 2x?nyx?nyx?ny2?2px??0 代入②得y?2y0y?mmm2可化为Ay?Bxy?Cx?0 A(y)2?B(y)?C?0其中A?1?xx2y0n2p，C??。 mm?PA?PB?kPA?kPB?C?2p???1 Am?2y0n?2p?2y0n?m。?AB：x?ny?2p?2y0n，即x?n(y?2y0)?2p ?直线 AB在新坐标系过点(2p,?2y0)在原坐标系过点(x0?2p,?y0)。

说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：

设直线AB：x?ny?m代入抛物线方程y2?2px得：y2?2p(ny?m) 整理得：y2?2pny?2pm?0，设A、B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)则 y1?y2?2pn，y1?y2?2pm

又PA?PB?(x1?x0)(x2?x0)?(y1?y0)(y2?y0)?0

(y1y2)2(y1?y2)2?2y1y222 ???x?x00?y1y2?y0(y1?y2)?y0?0 ③ 24p2p整理得:m?x0?2p?ny0 （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）

?AB：x?n(y?y0)?x0?2p ?直线AB恒过点（x0?2p,?y0）

小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2 旧P(x0,y0)，新P(0,0)，所以移轴公式为

?x??x?x0??y??y?y0 其中(x?,y?)为新坐标，与之对应的(x,y)为同一点的旧坐标，所以O新坐

标为(?x0,?y0)。抛物线y?2px? (y??y0)2?2p(x??x0) 即(y?y0)2?2p(x?x0) 直线AB在新系下过点(2p,?2y0)，则在旧系下过点(x0?2p,?y0)。 下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。

三、解析高考 例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆

23x2y2C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心

2ab1,直线l的方程为x=4. 2(1) 求椭圆C的方程;

(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记

率e=PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求

?的值;若不存在,说明理由.

x2y2??1. (2)：平移坐标系，使点P为原点,则 解析:(1)略：椭圆C的方程为43 旧坐标系 点P 点O 直线l X=4 椭圆 点F 3(1,) 2(0,0) x2y2??1 43(1,0) 3(0,?) 2y?kx ① m新坐标系 (0,0) 3X=3 (?1,?)2 3(y?)22(x?1)2?1 ?43设在新系下，AB：y?kx （显然直线AB不可能竖着），可化为1??m椭圆方程可化为：3(x2?2x)?4(y2?3y)?0 ②

y?kxy?kx?4y2?12y??0 mm22 上式可化为：Ay?Bxy?Cx?0 即 A(y)2?B(y)?C?0

xx33 又直线AB过点F(0,?),故m??

22把①代入②，化为齐次式:3x?6x?2 注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！

12612k6?12k??4,，B????4(2k?1) mmmmB33?k1?k2???2k?1.易求yM?3k?m?3k??(2k?1)

A22其中A?4?故k3?yM1?(2k?1)，故存在常数??2, 使得k1+k2=?k3.恒成立。 xM2例4。（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为

8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.

2 (Ⅰ)略，y?8x(Ⅱ)分析：x轴为?PBQ平分线?kBP?kBQ?0.故可联想用过“原

点”的两直线解决此问题。

解析：平移坐标系，使点B为原点，则 旧坐标系 新坐标系 点B 点O 抛物线 (?1,0) (0,0) (1,0) y2?2px y2?2p(x?1) (0,0) 在新坐标系下，设PQ；x?ny?m（显然AB不能横着，故设成这种形式） 可化为：1?x?ny2 代入 y?2p(x?1) （目的是化为齐次式） mx?nyx?ny2y2?2px??2p?()?0 mm可化为:Ay2?Bxy?Cx2?0

2pn22pn(m?2)其中A=1?, B?m2m2?x轴为?PBQ平分线，?kBP?kBQ??B?0即B=0?m?2 A从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。 说明：此种解法还得出，直线l 恒过点（1，0）与P值的大小无关。

例5。（2012高考真题重庆理20） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，线段 的中点分别为B1,B2，且△AB1B2 是面积为4的直角三角形.

求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2?QB2，求直线l的方程

x2y2??125204解析：（Ⅰ）离心率为，椭圆的标准方程为

5（Ⅱ）平移坐标系使点B2为原点，则 旧坐标系 新坐标系 设直线PQ方程为y?kx 可化为1??m点B2 （2，0） （0，0） 点0 （0，0） 点B2 （-2，0） 椭圆 x2y2??1204 (x?2)2y2??1 204y?kx了 ① m （-2，0） （-4，0） (x?2)2y2??1可化为椭圆方程

204x2?5y2?4x?16?0 ②

把

①

代

入

到

②

得

：

x2?5y2?4x?y?kxy?kx2?16?()?0 mm22164k16k2?2 上式可化为Ay?Bxy?Cx?0 其中A?5?2,C?1?mmm又PQ直线过点B1，故0??4k?m?m?4k

?A?5?1C?1C?1?1?1??1,,?k?k????1(?PB2?QB2) PB2QB2k2A5?1k211?k??,?PQ:y??(x?2) 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为

22x?2y?2?0和x?2y?2?0.

总结：⑴ 设直线AB方程为y?kx或x?ny?m，即使AB过定点也是如此，这?m样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加

问题的多样性，如例3、例5。⑵ 移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5，B2(2,0)?(0,0)说明横坐标都减少2个单位，纵坐标不变。故移轴公式为：??x??x?2（移轴公式在选修4-4即《坐标系与参数方程》有要求）。⑶ 最好列表体

?y??y现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。⑷ 过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。

参考资料：《数学那玩意》 韩旭

（叶运平 湖南省浏阳第一中学数学组 410300 手机13875923326 414582782@qq.com 中学高级数学教师 研究方向：高考和自主招生解题研究）

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