高中物理竞赛讲义 - 微积分初步

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

高中物理竞赛讲义——微积分初步

一：引入

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几

倍。

分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于

八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ；

②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状； K Q

根据点电荷的电势公式U= 及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为

rU=

CKQ2

=Ckρa ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电a

3

2

量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa

a2CKρa

③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa ；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（ ）= 24

2

大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa

2

1

；即U0= U1

2

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：导数

㈠ 物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

△v△t

v . t 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速

度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

1

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分析：我们知道，公式v=△t 一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近

似处理成瞬时速度。

2 2

s(t)=3t+2ts(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)

222

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)-3t-2t=3△t+4t△t+2△t

3△t+4t△t+2△t

v= = =3+4t+2△t △t△t

当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。

△s

2

△s

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：

①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)；

④求出z=

△y△t

=f(t+△t)- f(t)

；

△t

⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小

当△t取很小时，可以用V=

△s△t

求瞬时速度，也可用i=

△Q

N△φ

求瞬时电流,用ε= 求△t△t

瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t：

△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：

t

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= ；

2t

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= ；

3t

第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t= ；

4…………

t

第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t= ；

N+1

…………

一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 lim△t=0。其中“lim”

?t?0?t?0 2

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表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：

①lim（△t+C）=C ②limC·△t=0 ③limf(△t)=f(0)

?t?0?t?0?t?0④lim f(t+△t)=f(t) ⑤lim?t?0sin(△t)

△t

?t?0 = 1

『附录』常用等价无穷小关系（x?0） ①sinx?x ；②tanx?x ；③1?cosx?12x ；④ln?1?x??x ；⑤ex?1?x 2㈢ 导数

前面我们用了极限“lim”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:

?t?0z=lim△y

?t?0△t

,并简记为z=

dy

,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用d t

dxdvdqdФ

、a= 、i= 、ε=N 等，甚d td td td t

某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=至不限于对时间求导，如F=

dWFdUdm

、Ex= 、ρ= 等。 d xdxdl

这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用lim来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。

?t?0如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率

的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算

dudvuu

·v - u· d( )d td tvd(u±v)duvdv

① = ± ③ = 2

d td td td tvd(u·v)dudvu

② = ·v + u· d td td tv⑵ 常见函数的导数

①

dCdcost =0(C为常数)； ④ =-sint； dtdt

n

t

dtden-1t

② =nt (n为实数)； ⑤ =e；

dtdtdsint

③ =cost；

dt

⑶ 复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

3

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du(v(t))du(v(t))dv(t)

= · d td v(t)d t

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量

的导数——称为链式法则。

【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为ω （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问： ①求出t时刻的速度v

②写出合力F与位移x的关系 ③验证简谐运动中质点的机械能守恒。

【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε

(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照)

P Q θ 2π

三：微分和积分

㈠ 简单问题

【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。

4

q Q0→Q1 物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？

分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；

dq

②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i=

d t③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ； ④联立上式，有i=dqd(Q0- CRi)di = = - CR d td td t

tdidi

⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR = CRd tdx

di

同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数的导数等于函

dx数本身？

dix

我们观察到，只有y=Ce形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。

dx故可以知道，i = Ce= Ce

x

-t/CR

Q0U0Q0Q0-t/CR

当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce=C；故C= CRCRCRQ0-t/CR

所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e

CR

【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？ ㈡微分

1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

didi

2、对于i= - CR 或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函

d tdx数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i△t 。对电容有Q=CU=CiR，△Q=Ｃ

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