第三章 - 多维随机变量及其分布 - 习题(3)

?1x,y)?G，?，若( f(x,y)??2?x,y)?G．?0，若(直线x?y和x?2y将G分为三部分(见插图)：G1?{x?y}，

y x= y x =2y 1 G1 G2 G3 G2?{y?x?2y}，G3?{x?2y}．易见

1P{X?Y}?P{(X,Y)?G1}?，41 P{Y?X?2Y}?P{(X,Y)?G2}?，　41P{X?2Y}?P{(X,Y)?G3}?．21P{U?0,V?0}?P{X?Y,X?2Y}?P{X?Y}?，4P{U?0,V?1}?P?X?Y,X?2Y??0， 0 例3.19插图

2 x 随机变量U和V的联合概率分布:(U,V)有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)等4个可能值，因此

1

P{U?1,V?0}?P?X?Y,X?2Y??P?Y?X?2Y??，4111P{U?1,V?1}?1???．442于是，U和V的联合分布为

V U 0 1 0 1/4 1/4 1 0 1/2

16. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为?的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T的概率分布。

解 以Xi表示第i个元件无故障工作时间，则X1,X2,X3独立且分布函数为

t???1?e?，t?0FX（t）?, i?1, 2, 3, T?min{X1,X2,X3}. ?i??0, t?03t??3??1?e?,t?0F（t）?. 所以T服从参数为的指数分布 1?(1?F(t))?T??Xi3i?1??0, t?017．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，均服从N（160，20）

分布，由

22?180?60?P{Xi?180}???,i?1,2,3,4. ?查表0.8413?20?

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设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063

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