2012广州一模试题及答案（数学理）WORD版

试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多

涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V?1?x1?x?n?132Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

方差s?2????x2?x?2?????xn?x??2x?x2???xn?，其中x?1. ??n一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．已知复数a?bi?i?1?i?（其中a,b?R，i是虚数单位），则a?b的值为

A．?2 B．?1 C．0 D．2 2．已知全集U?R，函数y?集合?eUA??B?

A．??2,?1? B．??2,?1? C．???,?2? D．??1,??? 3．如果函数f?x??sin??x????????0的相邻两个零点之间的距离为，则?的值为 ???126?1x?1的定义域为集合A，函数y?log2?x?2?的定义域为集合B，则

A．3 B．6 C．12 D．24

22224．已知点P?a，b?（ab?0）是圆O：x?y?r内一点，直线l的方程为ax?by?r?0，那么直

线l与圆O的位置关系是

A．相离 B．相切 C．相交

D．不确定

5．已知函数f?x??2x?1，对于任意正数a，x1?x2?a是f?x1??f?x2??a成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a与b，定义a?b?absin?，其中?为a与b的夹角．若a=??3,4?， b=?0,2?，

则a?b的值为

A．?8 B．?6 C．8 D．6

7．在△ABC中，?ABC?60?，AB?2，BC?6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的

概率为 A．

16 B．

13 C．

12 D．

23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标?x,y,z?，若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A．252 B．216 C．72 D．42 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知2≤?212 2 2 2 2 2 ?kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ．

2m?62正(主)视图 侧(左)视图

11．已知幂函数y??m?5m?7?x则实数m的值为 ．

在区间?0,???上单调递增，

2 12．已知集合A??x1≤x≤2?，B??xx?a≤1?，若AIB?A，

2 图1 俯视图 则实数a的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作

a3?12，第4个五角形数记作a4?22，……，若按此规律继续下去，则a5? ，若an?145，则n? ．

1

5

12

图2

22

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，

OP?3cm，弦CD过点P，且

CPCD?13B C P O D ，则CD的长为 cm．

A 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

参数方程分别为l：??x?t?2,（s为参数）和C：?（t为参数）， 2?y?1?s?y?t?x?1?s,图3

若l与C相交于A、B两点，则AB? ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?tan?3x??????的值； ?9?????3??????，若，求f??2cos??????2?4?34????的值． ?????． 4?（1）求f?（2）设????, 17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示． 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． （1）求a的值；

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?AD?1，CD?3，PD?甲组 9 7 6 6

8

乙组 7

3

5

9 a 图4

6，平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D，

P3．

（1）证明△PBC为直角三角形；

（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

A

DBC图5

19．（本小题满分14分）

等比数列?an?的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3?2a22． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?

20．（本小题满分14分）

已知椭圆x?22n?5?2n?1??2n?3?an，求数列?bn?的前n项和Sn．

y24?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)?e(e为自然对数的底数)，gn(x)?1?x?（1）证明：f(x)≥g1(x)；

（2）当x?0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并说明理由；

?2??2??2??2?*（3）证明：1??????????L??（）． n?N≤g1?e??n??2??3??4??n?1?123nxx22!?x33!?L?xnn!（n?N*）．

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2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 答案

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分

30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9．4331 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62

3???2?15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f?????????tan????………………………………………………1分 9?34?????tan?tan34………………………………………………3分 ???1?tantan34?3?11?3??2?3．…………………………………………………4分

（2）解：因为f????3???3?????tan????…………………………………………5分 ??4?44???tan?????……………………………………………………6分

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