初三数学总复习函数及其图象相关定理

初三数学总复习教案（五）

函数及其图象相关定理

1. 一一对应：

① 数轴上的点与实数一一对应。

② 坐标平面上的与有序实数对一一对应。 2．特殊位置的点的坐标特征：

① 横坐标上的点?纵坐标为零。 ② 纵坐标上的点?横坐标为零。

③ 平行于x轴的直线上的点?纵坐标相等。 ④ 平行于y轴的直线上的点?横坐标相等。 ⑤ 第一、三象限角平分线上的点?横、纵坐标相等[设A点的坐标为（x,y）有x=y].

⑥ 第二、四象限角平分线上的点?横、纵坐标互为相反数[设A点的坐标为（x,y）有x= - y].

2. 每一象限内点的坐标特征：设A（x,y）有

① 第一象限内的点?x＞0,y＞0. ② 第二象限内的点?x＜0,y＞0. ③ 第三象限内的点?x＜0, y＜0. ④ 第四象限内的点?x＞0, y＜0. 3. 设平面上点A（xA,yA）,点B（xB,yB）：

① AB在x轴上或平行于x轴?AB=｜xA- xB｜。 ② AB在y轴上或平行于y轴?AB=｜yA- yB｜。

22?yA③ 点A到原点的距离?OA=xA。

④ 平面上任意两点AB的距离?AB=(xA?xB)2?(yA?yB)2。 4. 对称的点的坐标特征：

① 点P（a,b）关于x轴的对称点的坐标P1（a,-b）。即：点P、P1关于x轴对称?横坐标相同、纵坐标互为相反数。

② 点P（a,b）关于y轴的对称点的坐标P2（-a,b）。即：点P、P2关于x轴对称?纵坐标相同、横坐标互为相反数。

③ 点P（a,b）关于原点对称的点的坐标P3（-a,-b）。即：点P、P3关于原

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点对称?横、纵坐标均互为相反数。

函数：设在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它相对应，则y叫做x的函数。其中x是自变量。 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

一次函数?一条直线?y=kx+b(k,b是常数，k≠0)。 正比例函数?直线过原点?y=kx(k是常数，k≠0)。

k反比例函数?双曲线?y=(k是常数，k≠0) ?y=kx?1(k是常数，k≠0)

x?xy=k(k是常数，k≠0)

10. 二次函数?抛物线?y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)。 11. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的性质：

b① 一次函数与y轴的交点为（0，b）,与x轴的交点为（-,0）。

k② k＞0时?y随x的增大而增大，减小而减小。?从左到右在上坡。 ③ k＜0时?y随x的增大而减小，减小而增大。?从左到右在下坡。 ④ b＞0时?直线与y轴的交点在原点的上方。 ⑤ b＜0时?直线与y轴的交点在原点的下方。 ⑥ b=0时?直线经过原点。

⑦ 直线m∥n?k1=k2

⑧ 直线m、n交于x轴上同一点?（

b1b2,0） ?k1k212. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图像： ① y ② y x x

? k＞0, b＞0?图像过一、二、三象限。 ? k＞0, b=0?图像过一、三象限。 ③ y ④ y x x ? k＞0, b＜0?图像过一、三、四象限。 ?k＜0, b＞0?图像过一、二、四象限。 ⑤ y ⑥ y

x x

? k＜0, b=0?图像过二、四象限。 ? k＜0, b＜0?图像过二、三、四象限。 13. 自变量的取值范围：

① 自变量所在的式子为整式时，自变量取全体实数。 ② 自变量所在的式子含有分式时，则要求分母不为零。

③ 自变量所在的式子含有二根式（偶次方根）时，则要求二次根式（偶次方根）的被开方数为非负数。

④ 自变量所在的式子含有奇次方根时，则奇次方根的被开方数自变量取全体实数。

14. 反比例函数的性质：

① k＞0?图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小。 ② k＜0?图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大。 ③ 反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称。 15. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的性质，设抛物线与x轴的交点为A（x1,0）、B（x2,0）;与y轴的交点C（0,c）有：

① a＞0?抛物线的开口方向向上。 ② a＜0?抛物线的开口方向向下。

③ ｜a｜越大?抛物线的开口越小; ｜a｜越小?抛物线的开口越大。 ④ c＞0?抛物线与y轴的交点在原点的上方。 ⑤ c＜0?抛物线与y轴的交点在原点的下方。 ⑥ c=0?抛物线过原点。

⑦ a、b共同确定对称轴的位置的情况：（1）a、b同号，对称轴在y轴的左边；（2）a、b异号，对称轴在y轴的右边。简记：同号左，异号右。 ⑧ △＞0?抛物线与x轴有两个交点。 ⑨ △=0?抛物线与x轴有一个交点。 ⑩ △＜0?抛物线与x轴没有交点。 ? 二次函数y=ax

2b24ac?b2)++bx+c=a（x+的顶点坐标为2a4ab4ac?b2b（?,）,对称轴为x=?。

2a2a4a? a＞0有：x＞?bb?y随x的增大而增大; x＜??y随x的增大而2a2a4ac?b2减小。y≥有最小值。

4a? a＜0有：x＞?bb?y随x的增大而减小; x＜??y随x的增大而2a2a4ac?b2增大。Y≤有最大值。

4ab2?4ac? AB=｜x1－x2｜=。

a? 对称轴?过最低点或最高点的直线?过顶点的直线（平行于y轴）。 ? 顶点横坐标?对称轴所在的直线?最值?顶点纵坐标。 16. 二次函数的三种表示方法：

① y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)。 ② y=a(x－h)2+k(a、h、k是常数，且a≠0)。 ③ y=a(x — x1)(x －x2)(a是常数，且a≠0)。

17. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的图象,设抛物线与x轴的交点为A（x1,0）、B（x2,0）,并设x1＜x2有： ① y

A ④ y A B x B x

A(B) ⑤ y A(B) x

⑥ y x

x x

② y ③ y ①?△＞0,a＞0,b＜0,c＜0。y=axy=ax2+bx+c＜0? x1＜x＜x2.

2+bx+c＞0?x＜x1或x＞x2;

④?△＞0,a＜0,b＞0,c＞0。y=ax2+bx+c＞0?x1＜x＜x2; y=ax2+bx+c＜

0? x＜x1或x＞x2.

②?△=0, a＞0,b＜0,c＞0。y=ax数;y=ax2+bx+c＜0?无实数解。

⑤?△=0, a＜0,b＞0,c＜0。y=ax2+bx+c＞0?无实数解;y=ax2+bx+c＜0?x≠?b的实数。 2a2+bx+c＞0?x≠?b的实2a③?△＜0，a＞0,b＜0,c＞0。y=ax2+bx+c＞0?全体实数; y=ax2+bx+c＜0?无实数解。

⑥?△＜0，a＜0,b＞0,c＜0。y=ax2+bx+c＞0?无实数解;y=ax2+bx+c＜0?全体实数。

18. 设f（x）= ax2+bx+c,一元二次方程ax2+bx+c=0.的根的分布（a＞0）： ① 一根为零?过原点?c=0。

② 有一个正根和一个负根?f（0）＜0。 ③ 有一根大于a,一根小于a?f（a）＜0。

b④ 有两个正根?△≥0，?＞0, f（0）＞0。

2ab⑤ 有两个负根?△≥0，?＜0, f（0）＞0。

2a⑥ 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值大于负根的绝对值?△≥0，

b?＞0, f（0）＜0。 2a⑦ 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值小于负根的绝对值?△≥0，

b?＜0, f（0）＜0。 2ab⑧ 两根都大于ｍ?△≥0，?＞m, f（ｍ）＞0。

2ab⑨ 两根都小于ｍ?△≥0，?＜m, f（ｍ）＞0。

2a⑩ 一根在a、b之间，另一根在c、d之间（a

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