Matlab实现多元回归实例
（一）一般多元回归
一般在生产实践和科学研究中，人们得到了参数x??x1,???,xn?和因变量y的数据，需要求出关系式y?f?x?，这时就可以用到回归分析的方法。如果只考虑
f是线性函数的情形，当自变量只有一个时，即，x??x1,???,xn?中n?1时，称
为一元线性回归，当自变量有多个时，即，x??x1,???,xn?中n?2时，称为多元线性回归。
进行线性回归时，有4个基本假定： ① 因变量与自变量之间存在线性关系； ② 残差是独立的；
③ 残差满足方差奇性； ④ 残差满足正态分布。
在Matlab软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress，调用格式如下：
[b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X,alpha) 或者
[b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X) 此时，默认alpha ＝ 0.05. 这里，y是一个n?1的列向量，X是一个n??m?1?的矩阵，其中第一列是全1向量（这一点对于回归来说很重要，这一个全1列向量对应回归方程的常数项），一般情况下，需要人工造一个全1列向量。回归方程具有如下形式：
y??0??1x1??????mxm??
其中，?是残差。
在返回项[b,bint,r,rint,stats]中， ①b??0?1????m是回归方程的系数；
②bint是一个m?2矩阵，它的第i行表示?i的(1-alpha)置信区间； ③r是n?1的残差列向量；
④rint是n?2矩阵，它的第i行表示第i个残差ri的(1-alpha)置信区间； 注释：残差与残差区间杠杆图，最好在0点线附近比较均匀的分布，而不呈现一定的规律性，如果是这样，就说明回归分析做得比较理想。
⑤ 一般的，stast返回4个值：R2值、F_检验值、阈值f，与显著性概率相关的p值（如果这个p值不存在，则，只输出前3项）。注释：
1
（1）一般说来，R2值越大越好。
（2）人们一般用以下统计量对回归方程做显著性检验：F_检验、t_检验、以及相关系数检验法。Matlab软件包输出F_检验值和阈值f。一般说来，F_检验值越大越好，特别的，应该有F_检验值?f。
（3）与显著性概率相关的p值应该满足p?alpha。如果p?alpha，则说明回归方程中有多余的自变量，可以将这些多余的自变量从回归方程中剔除（见下面逐步回归的内容）。
这几个技术指标说明拟合程度的好坏。这几个指标都好，就说明回归方程是有意义的。
例1（Hamilton，1987）数据如下： 序号 Y X1 X2 1 12.37 2.23 9.66 2 12.66 2.57 8.94 3 12.00 3.87 4.40 4 11.93 3.10 6.64 5 11.06 3.39 4.91 6 13.03 2.83 8.52 7 13.13 3.02 8.04 8 11.44 2.14 9.05 9 12.86 3.04 7.71 10 10.84 3.26 5.11 11 11.20 3.39 5.05 12 11.56 2.35 8.51 13 10.83 2.76 6.59 14 12.63 3.90 4.90 15 12.46 3.16 6.96 第一步 分析数据 在Matlab软件包中分析是否具有线性关系，并作图观察，M—文件opt_hanmilton_1987：
x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16]; x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96]; y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46]; corrcoef(x1,y) corrcoef(x2,y) plot3(x1,x2,y,'*')
得到结果： ans =
1.0000 0.0025
2
0.0025 1.0000 ans =
1.0000 0.4341 0.4341 1.0000
即，corrcoef(x1,y)＝0.0025，corrcoef(x2,y)＝0.4341，说明没有非常明显的单变量线性关系。图形如下：
也看不出有线性关系，但是，旋转图形，可以看出所有点几乎在一个平面上。
这说明，y,x1,x2在一个平面上，满足线性关系：
a1?x1?a2?x2?b?y?a??
?x?a?x??或者，换成一个常见的形式 y?a0?a1122
其中，?是残差。于是，在Matlab软件包中做线性多元回归，写一个M—文件
opt_regress_hamilton：
x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16]'; x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96]'; y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46]'; e=ones(15,1); x=[e,x1,x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05) rcoplot(r,rint)
其中，rcoplot（Residual case order plot）表示画出残差与残差区间的杠杆图。执
3
行后得到： b =
-4.5154 3.0970 1.0319 bint =
-4.6486 -4.3822 3.0703 3.1238 1.0238 1.0399 r =
0.0113 -0.0087 -0.0102 -0.0069 0.0101 -0.0106 -0.0037 -0.0105 0.0049 -0.0136 0.0057 0.0163 -0.0023 0.0110 0.0071 rint =
-0.0087 -0.0303 -0.0301 -0.0299 -0.0106 -0.0313 -0.0252 -0.0299 -0.0174 -0.0331 -0.0161 -0.0027 -0.0236 -0.0079 -0.0156 stats =
1.0e+004 *
0.0001
0.0314 0.0128 0.0098 0.0162 0.0308 0.0102 0.0178 0.0089 0.0272 0.0058 0.0275 0.0354 0.0190 0.0299 0.0298 3.9222 0 0.0000
4
即，y??4.515?3.097x1?1.0319x2。
置信度95％，且R2?1.0,F_检验值?39222?0，与显著性概率??0.05相关的
p?0.0000?0.05，这说明，回归方程中的每个自变量的选取，都是有意义的。
残差杠杆图：
从杠杆图看出，所有的残差都在0点附近均匀分布，区间几乎都位于??0.03,0.03?之间，即，没有发现高杠杆点，也就是说，数据中没有强影响点、异常观测点。 综合起来看，以上回归结果（回归函数、拟合曲线或曲面）近乎完美。
（二）逐步回归
假设已有数据X 和Y，在Matlab软件包中，使用stepwise命令进行逐步回归，得到回归方程Y?a1X1?a2X2?????anXn??，其中?是随机误差。stepwise命令的使用格式如下：stepwise(X,Y)
注意：应用stepwise命令做逐步回归，数据矩阵X的第一列不需要人工加一个全1向量，程序会自动求出回归方程的常数项（intercept）。
在应用stepwise命令进行运算时，程序不断提醒将某个变量加入（Move in）回归方程，或者提醒将某个变量从回归方程中剔除（Move out）。
注释：①使用stepwise命令进行逐步回归，既有剔除变量的运算，也有引入变量的运算，它是目前应用较为广泛的一种多元回归方法。②在运行stepwise(X,Y)命令时，默认显著性概率??0.05。
例2（Hald,1960）Hald数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量Y（单位：卡／克）与水泥中4种化学成分所占的百分比有关：
x1:3Cao?Al2o3x2:3Cao?Sio2x3:4Cao?Al2o3?Fe2o3x4:2Cao?Sio2
5
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库Matlab实现多元回归实例在线全文阅读。
相关推荐：