黄冈市2013高三5月冲刺卷数学（理）含答案3(2)

EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51.????????????????12分

19．

（1）证明 作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原 点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴， 以垂直于DB，DC的直线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，D?0,0,0?A(2,2,1)，

????????????→

所以BC＝??2,2,0?，DC＝?0,2,0?AC???2,0,?1?，DA??2,2,1?????????????4分

→→因此BC·DA＝?4?4?0，所以AD⊥BC.????????????????????????????????6分

→→

（2）解：设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC知：n1·BC＝?2x?2y?0

→→

同理由n1⊥AC知：n1·AC＝?2x?z?0，

?????????????????????????????????2分?

?2?， 可取n1＝?1,1，同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2??1,0,2?????????????????10分

1?4n1·n2∴cos〈n1，n2〉＝＝?|n1||n2|6?5即二面角B—AC—D的余弦值为20．解：

（1）?e?30 630????????????????????????????????12分 621?b2?a2，设椭圆的方程为x2?2y2?a2 22依题意，直线l的方程为：y?k(x?1)

由??y?k(x?1)22222,(1?2k)x?4kx?2k?a?0 222?x?2y?a4k2设A(x1,y1),B(x2,y2)?x1?x2?? 21?2k?????????AC?2CB?x1?2x2??3

?3?2k2x???11?2k2?? …………………………4分 2?x??3?2k2?1?2k2??S?ABC?3k1k3332y1?y2?x1?x2?(k?0)???

122221?2k242k?k当且仅当k??232 时，S?ABC取最大值242x2y2此时A(1，?2)?a?5?椭圆方程为??1 ……………………6分

552（2）设点D的坐标为(x0，y0)．

当y0?0时，由OD?MN知，直线MN的斜率为?x0，所以直线MN的方程为y02x0x0x0y??(x?x0)?y0，或y?kx?m，其中k??，m?y0?．

y0y0y0点M(x1,y1)N(x2,y2)的坐标满足方程组?2222?y?kx?m，222?x?2y?a．222

得x?2(kx?m)?a，整理得(1?2k)x?4kmx?2m?a?0，

2m2?a24km于是x1?x2??，x1x2?． 221?2k1?2k?y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2

2m2?a2?4kmm2?a2k22． ?k·?km·?m?2221?2k1?2k1?2k2?????????3m2?a2?a2k2由OM?ON知x1x2?y1y2?0．??0，

1?2k22xx12200?3m?a(1?k)将k??，m?y0?代入上式，整理得x0?y0?a2．…10分

3y0y0222当y0?0时，直线MN的方程为x?x0， M(x1,y1)N(x2,y2)的坐标满足方程组

2?x?x0，a2?x0所以x1?x2?x0，y1，． ?22??222?x?2y?a．2?????????a2?x02?0， 由OM?ON知x1x2?y1y2?0，即x0?22解得x0?12a． ………………11分 312a．www.12999.com 31综上，点D的轨迹方程为 x2?y2?a2………………12分

322这时，点D的坐标仍满足x0?y0? 21．解：

（1）因为函数f(x)在?4,???上为增函数，所以f'?x??在?4,???上恒成立。 ①当a?0时，f'22x?2ax?1?4ax?4a?2???????2ax?1?0

?x??x(x?2)?0在?4,???上恒成立，所以f(x)在?4,???上为增

函数，故a?0符合题意。

②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax?1?0在?4,???上恒成立， 故只能a?0，所以2ax2??1?4a?x?4a2?2?0在?4,???上恒成立。 ..（4分） 令函数g?x??2ax2??1?4a?x?4a2?2，其对称轴为x?1?所以1?????1，因为a?0， 4a1?1，要使g?x??0在?4,???上恒成立，只要g?4??0即可，即4ag?4???4a2?16a?2?0，所以

4?32 24?324?32，因为a?0，所以?a?220?a?综上所述，a的取值范围为?0,?4?32?? ???????????????? （6分） 2??3?1?x??b可化为1b2（2）当a??，方程f(1?x)?lnx??1?x???1?x??。问题转

3x2x化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解，即求函数

2y?xlnx?x2?x3的值

则h?x??'h?x??lnx?x?x2(x?0) （10分）

?2x?1??1?x?，所以当0?x?1时，h'x?0，函数hx在1?1?2x?????xx?0,1?上为增函数，当x?1时，h'?x??0，函数h?x?在?1,???上为减函数，因此

h?x??h?1??0。而x?0，所以b?x?h?x??0，因此当x?1时，b取到最大值0。

???????????????? 12分 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵AB?AC ∠ABE=∠ACD………………2分

又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD

∴ΔABE?ΔACD（角、边、角） ????????????????5分 （Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4

又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴ BC=BE=4 ????????????????8分 设AE=x，易证 ΔABE∽ΔDEC

DEDC4??xAB62∴4?x?x(6?x)3∴

?DE?2x又 AE?EC?BE?ED3EC?6?x

x?10????????????????10分

3

23．（Ⅰ）由??23sin?得x2?(y?3)2?3 ????????????????4分 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(2?22222t)?(t)?3， 22即t?22t?1?0由于??0，故可设t1,t2是上述方程的两实根， 所以?1?t?t2?22?故由上式及t的几何意义得：

??t1?t2?1|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=22。 ????????????????10分

24．解：x?1?2x?x2?2x?1?4x2??1?x?1 3所以解集为??,1? ????????????????5分 （1）即?x?R，使得x?1?2x?a成立，令h(x)?x?1?2x，则a?h(x)max

?1??3??1?x,x?0? h(x)??3x?1,?1?x?0，Www.12999.com

?x?1,x??1?所以a????,1?。 ????????????????10分

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