数学高考总复习：基本不等式与不等式的证明(6)

∴

∵

是两个不相等的正数

∴

设 则

，

，列表：

极小值 ∴ 即

∴

即对任意两个不相等的正数

16. 解析：

，恒有

（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

（Ⅱ）证法一：因

证法二：因

而

故只需对和进行比较.

令，有

由 因为当 当 所以在 故当

，得

时，时，处时，

，，有极小值

，从而有

，亦即

单调递减；

单调递增，

故有 所以 （Ⅲ）对

，且

恒成立.

，原不等式成立.

有

又因，故

∵，从而有成立，

即存在

，使得恒成立.

综合探究：

17．解析：

（Ⅰ）用数学归纳法证明： ①当 当

时，原不等式成立； 时，左边

，右边

，因为

，

所以左边 ②假设当 则当

，

右边，原不等式成立； 时，不等式成立，即时，

，于是在不等式

两边同乘以

，

得

，

所以，即当时，不等式也成立．

，不等式都成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得，

于是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当

时，

，．

，

即

故只需要讨论 当 当 当 当 当

时，时，时，时，时，同

．即当

的情形：

，等式不成立；

，等式成立；

．

时，不存在满足该等式的正整数．

，等式成立； 为偶数，而

为奇数，故

，等式不成立；

的情形可分析出，等式不成立．

．

综上，所求的只有

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