大学物理学第8章作业题(3)

分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源———变化的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率

dBdt?B?t 等）密切相关，即?Ekdl???SS?dS.在

一般情况下，求解感生电场的分布是困难的．但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解．可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示．由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆．同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等，方向沿圆周的切线方向．图中虚线表示r ＜R和r ＞R 两个区域的电场线．电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当绕向与B 方向满足右螺旋关系；当

dBdtdBdt?0时，电场线

?0 时，电场线绕向与前者相反．

解 如图所示，分别在r ＜R 和r ＞R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l（半径为r 的圆），依照右手定则，不妨设顺时针方向为回路正向． （1） r ＜R， E??lEk?dl?Ek?2πr??rdB2dtddt?B?dS??πr2dBdt

Ek??

ddtr ＞R， E??lEk?dl?Ek?2πr???B?dS??πR2dBdt

Ek??由于

dBdtRdB2rdt2

?0，故电场线的绕向为逆时针．

（2） 由于r ＞R，所求点在螺线管外，因此

Ek??RdB2rdt2

将r、R、的．

dBdt的数值代入，可得Ek??4.0?10?5V?m?1，式中负号表示Ek的方向是逆时针

8 －21 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d．试求长为l 的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．

分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I，然后计算图中阴影部分（宽为d、长为l）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．

解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为

B?μ0I2πr?μ0I2π?d?r?

穿过图中阴影部分的磁通量为

Φ??SB?dS??d?aaBldr?μ0lπlnd?aa

则长为l 的一对导线的自感为

L?ΦI?μ0lπlnd?aa

如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为L?L1?2L2．L1 称为外自感，即本题已求出的L，L2 称为一根导线的内自感．长为l的导线的内自感L2?自行求解．

8 －25 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm2 ，沿环每厘米绕

μ0l8π，有兴趣的读者可

有100 匝线圈，通有电流I1 ＝4.0 ×10 A，在环上再绕一线圈C，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3 C．求：当螺绕环中通有电流I1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr．

－2

分析 本题与题８ －８ 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的． 解 当螺绕环中通以电流I1 时，在环内产生的磁感强度

B?μ0μrn1I1

则通过线圈C 的磁链为

ψc?N2BS?N2μ0μrn1I1S

设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为qC ，则有

qc??1RΔψc??1R?0?ψc??N2μ0μrn1I1SR

由此得

B?μ0μrn1I1?RqcN2S?0.10T

相对磁导率

μr?RqcN2Sμ0n1I1?199

8 －31 设有半径R ＝0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离d ＝0.50

cm，以恒定电流I ＝2.0 A 对电容器充电．求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）．

分析 尽管变化电场与传导电流二者形成的机理不同，但都能在空间激发磁场．从这个意义来说，变化电场可视为一种“广义电流”，即位移电流．在本题中，导线内存在着传导电流Ic，而在平行板电容器间存在着位移电流Id，它们使电路中的电流连续，即Id?Ic． 解 忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电流Id??Sjd?dS?jdπR，由此得位移电流密度的大小

jd?IdπR22?IcπR2?15.9A?m?2

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