第3章 动量守恒定律和能量守恒定1

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

问题解答

3-1 如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A运动到点B，（2）地球从点A运动到点C，（3）地球从点A出发绕行一周又返回点A，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？

Mmmv2解 由G2?可得，地球绕太阳作圆周

RR运动的速率为v?vC

A B vA C vAvB

GM，方向沿轨道切线方向。 R（1）地球从A到B，动量增量的大小为

?PAB?m?vAB?m2v?m方向与B点速度方向成45角。

?2GM R在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即 IAB??P??mAB2GM R方向与B点速度方向成45角。

（2）同理，地球从A运动到C，动量增量大小为

?PAC?m?vAC?2mv?2mGM，方向与C点速度方向相同。 RGM，方向与C点速度方向相同。 R此过程中地球所受的冲量为IAC??PAC?2m（3）当地球绕行一周回到A时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。

3-2 假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？

解 可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。

3-3 质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？

解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。

3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？ 解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力属于内力，动量守恒。

3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。

解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。

3-6 在水平光滑的平面上放一长为L、质量为m?的小车，车的一端站有质量为m的人，人和车都是静止不动的。人以速率v相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距

v 离？

v? 解 如图所示，取人与车为系统，在水平

方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿地面的速率为v?，所以有 mv?m?v? s s? l将上式两边乘以dt，并对时间积分

m?vdt?m??v?dt （1）

00tt设t时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为s，小车相对于地面运动的距离为s?，所以s??t0vdt，s???v?dt，代入（1）式有

0tms?m?s? （2）

又由图示可知 s?s??l （3）

由（2）（3）可得

m?l

m?m?m小车对地面移动的距离为s??l

?m?m人对地面移动的距离为s?

3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？

解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为v1，设人的质量为m1，船的质量为m2，并且当起跳时人相对船的速率为u，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为

v2??u?v1?.

取人与船为一个系统，起跳过程中，在水平方向满足动量守恒，即

m1v1?m2?u?v1? ?m1?u??1??v1

m?2?又上式分析可知，人的质量m1、人相对地面所需的速度

v1恒定，当船的质量越小，则人相对船起跳的速率也要越大，即人从小舟跳上岸要

困难些。

3-8 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。

解 质点的速度v因惯性系选取的不同而不同，所以质点的动量和动能都与惯性系的选取有关；由位移dr?vdt，即位移与惯性系有关，所以对于功dW?F?dr也与惯性系有关；动量定理与惯性系选取无关；动能定理与惯性系有关。

例如，在一辆以速率u匀速前进的火车上，一乘客用一恒定力F拉动物体A，使物体相对于火车由静止开始运动，则物体相对于

当运动t秒后，取地面为参考系，物体的动量为P?m?u?at?，动能为

Ek?112m?u?at?，力F作功W?at2F，这段时间内其动量定理表达式为 22112??1Ft?m?v?mat，动能定理表达式为F?ut?at2??m?u?at??mu2

22??2取火车为参考系，物体的动量为P?mat，动能为Ek?表达式Ft?m?v?mat，动能定理表达式为

2?1?1F?at2??m?at? ?2?212m?at?，动量定理2

3-9 关于质点系的动能定理，有人认为可以这样得到，即：“在质点系内，由于各质点间相互作用的力（内力）总是成对出现的，他们大小相等方向相反，因而所有内力做功相互抵消。这样质点系的总动能增量等于外力对质点系做的功”。显然这与式（3-20）所表述的质点系动能定理不符。错误出在哪里呢？

解 这种观点不正确，各质点间的内力虽是成对出现的，且大小相等方向相反，

但它们分别作用在不同的质点上，质点的位移并不一定相同，所以这对内力作功之和也不一定为零。 如右图所示，两质点m1、m2，相互作用力为F、F?， 在时间dt内，两质点位移分别为dr1、dr2，则这一对O 内力作功为

F? r2 dr2 m2 m1 r1 dr1

F

dW?F?dr1?F??dr2=F??dr1?dr2??F?dr12

dr12是质点m1对m2的相对位移。当dr12为零时，这对内力作功才可抵消。

3-10 有两个同样的物体，处于同一位置，其中一个水平抛出，另一个沿斜面无摩擦地自由滑下，问哪一个物体先到达地面？到达地面是两者的速率是相等？

解 如图所示，这两个物体在竖直方向都作初速度为零、加速度为g的匀加速运动，由于起始高m1 m2 v0 度相同，由运动学公式，它们到达地面所要的时间都为t?2h， gh 对于沿斜面下滑的物体、斜面、地球组成的系统而言，只有重力作功，由机械能守恒可得物体到达地面时的速率为v1?2gh

2v0?2gh

对于平抛落地的物体，它到达地面时的速率为v1?所以它们落地时速率并不相等。

3-11 如果一质点P处于如图所示的方形势阱底部。若有力作用在质点上，在什么情形下，此质点的运动可以不受方形势阱的束缚；在什么情形下，质点仍要受束缚。

解 质点P受力作用，当它所获得的能量大于在势阱

h 底部的势能mgh时，质点不受方形势阱的束缚。

P a a 3-12 举例说明用能量方法和牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便，哪些力学问题不方便。

解 能量方法和牛顿定律是解决力学问题时经常要用到的方法，利用牛顿定律可以求得瞬时关系，但解题时必须考虑物体运动状态改变的细节， 能量的方法一般适用于研究物体或系统运动状态的变化。

例如对于碰撞问题，两质点碰撞过程中的相互作用力为变力，不便利用牛顿定律来求解，而利用能量方法则不用考虑碰撞中的内力。

习题解答

3-1 一架以3.0?10m?s的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）。根据本题计算结果，你对于高速运动的物体（如飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石子）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？

解 由力的作用的相互性可知，鸟与飞机相撞，鸟对飞机的冲击力F与飞机对鸟的冲击力F?大小相等，方向相反。我们以鸟为研究对象，取飞机的飞行的方向为Ox轴正方向。由动量定理得

F?t?mv?0 其中?t为碰撞时间，由题意可知?t?lv，代入上式可得

2?1mv2?2.25?105N F?l所以飞鸟对飞机的冲击力为

F???F??2.25?10N

负号表示飞机所受冲力方向与其飞行方向相反。

由以上结果可知，尽管飞鸟质量、飞行速度都不大，但与其相撞后，飞机受到的冲击力很大，所以飞机在飞行时需要采取一些措施来避免与看似不会引起危害的物体相碰。

5v0与水平面成仰角?.3-2 质量为m的物体，由水平面上点O以初速为v0抛出，

若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）

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