罗增儒教授 高考临场20招(7)

对应为数列：an:1,,11233,?,13n?1,?有

当n增大时，an接近于0；

当n越来越大时，an越来越接近于0； 当n很大很大时，an很接近很接近于0；

当n很大很大很大时，an很接近很接近很接近于0； ……

当n无限增大时，an无限接近于0．

这一段板书，配上不断加重语气的解说，将有助于理解an?0的本质．“很接近”是一个特征但还不是本质，无限接近才是．那么怎样来讲授无限呢？这里是用多次重复来暗示“无限”，是用语言夸张来提示“无限”；省略号的地方既是停顿更是联想（此时无声胜有声），让学生的思维按照上面步步加强的暗示和提示去相信并接受“无限”．

数学上用两个不等式来反映两个无穷过程：

n?N——n无限增大的量化刻画，

an?A??——an无限接近A的量化刻画．

这样，无限变化就可以进行数学运算了． （2）你能类比猜想：1?13?132???13n??

32图7中，当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于 1?13?132，应是

??1?n33? 2（3）你能独立找出lim?1?n????13?132???1?3?的一个几何解释吗． n?3?2如图9，1?3的矩形中每个小矩形的面积为1，将其三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第1项）；将中间小矩形三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第2项）；??如此类推，则中间留下的部分面积趋于0，而左右两边小矩形面积之和趋于

32．

????

图9 （4）再找出一个几何解释．（能找出来就真明白了，否则是假明白，见图10） 这几个直观演示有两个特点： 特点１ 能同时演示两个无穷过程： 其一是通项趋向于0：其二是部分和趋向于

3213n?0?n???，

13?132．即1????13n???32．

特点２ 将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形 图10 之中，看得清楚，听得明白，直观、显浅．

?（5）变式推广：?k?11nk?1n?1?n?2,n?N??的直观演示．

讲解 取一条单位线段，将其n等分，把n?1等份分别给n?1个同学A1,A2,??An?1（实现求和的第1项），留下1等份；将留下的小线段n等分，把n?1等份分别给n?1个同学A1,A2,??An?1（实现求和的第2项），留下1等份；??如此类推，则留下的小线段越来越短、无限接近于0，而n?1个同学A1,A2,??An?1的小线段之和越来越长、无限接近于1．于是，每个同学的小线段之和趋于

1n?1．

例14 设数列的前n项和为Sn．若对于所有的正整数n，都有

n(a1?an)2Sn?， ①

证明?an?是等差数列．

（1994年高考数学文科第25题）

讲解 为了证明?an?为等差数列，只需要证(1,a1),(n?1,an?1),(n,an)三点共线（把数化为形），写成表达式就是（把形化为数）

an?a1n?1?an?1?a1(n?1)?1， ②

对比①、②两式的差异最显著的就是①含部分和Sn，而②只有通项．这就导致我们寻找Sn与an之间的联系（寻找到目标差），想起公式（作出减少目标差的反应）

an?Sn?Sn?1(n?1)，

当n?2时，把已知条件代入（继续作出减少目标差的反应），可得

an?n(a1?an)2?(n?1)(a1?an?1)2?a1?nan?(n?1)an?1，

2变形 (n?2)(an?a1)?(n?1)(an?1?a1)， 化成比例并且递推，可以得出

an?a1n?1?an?1?a1n?2???a3?a12?a2?a1，

得 an?a1?(n?1)(a2?a1)．

于是，通过差异分析，我们找到了一个成功的解法，特点是数与形的结合思考．下面的例15、例17也有数形结合的思考

第14招：选择题“小题小做”．

高考选择题承载着全面考查“双基”、广泛覆盖知识点的功能，具有“单、多、广、活”的特点（内容比较单一、数量比较多、覆盖面比较广、题型比较活泼），主要检查基础知识理解不理解、基本技能熟练不熟练、基本运算准确不准确、基本方法会用不会用、考虑问题严谨不严谨、解题速度快捷不快捷，要求学生“熟、准、快”（内容熟识、概念准确、推演

7左右． 快速），近年，其易、中、难的比例约为4：5：1，难度系数约为0．在近年的高考中，选择题能占到试卷总分（150分）的40%（60分）和学生得分的50%左右，是学生得分的重要来源．

从高考临场的角度看来，为了给难度较大、分值较高的解答题留下较多的思考时间，每道选择题应争取在1、2分钟内完成，3分钟还完不成的题就先跳过去，总计时间控制在20～30分钟以内．因此，把握选择题的解法，必须包括这样一个战略性的目标：快速求解，小题小做．

问题是，怎样才能“快”呢？我们认为，速解选择题的关键是充分利用选择题在结构形式和回答方式上提供的新信息．

选择题的求解有6个基本方法又各有肯定形式与否定形式的12个技巧解法，列表表示如下：（参见文[2]第三章）

基 本 形 基 本 式 方 法 求解对照法 逆推代入法 特值检验法 肯定一支 （策略1） 顺推肯定法 逆推肯定法 特值肯定法 否定三支 （策略2） 顺推否定法 逆推否定法 特值否定法

逻辑分析法 直观选择法 特征分析法 逻辑肯定法 直观肯定法 特征肯定法 逻辑否定法 直观否定法 特征否定法 在具体使用这些方法时，应该认识到求解对照法是用得最多的通用方法，当其他方法都无能为力时，求解对照常能成功；但在使用求解对照前，我们应先考虑其他方法能否奏效，尽量避免“小题大做”．同时，还应注意多种方法的交替使用．

例15 若x1满足2x?2x?5，x2满足2x?2log2(x?1)?5，则x1?x2?（ ）． （A）

52 （B）3 （C）

72 （D）4

（2009 年高考数学辽宁卷理科第12题）

解法1 （数形结合）由已知有

yx?12?5?2x，

3xy?2y?x?1y?log2(x?1)B23 2log2(x?1)?5?2x， 即 2x?12?521?x，

52OAC1x1xy?52?x log2(x?1)?作出y?2x?1?x，

x2，y?log2(x?1)的图象（如图11）， 图11

52?x的交点A,B的中点为y?52?x与y?x?1它们关于y?x?1对称，它们与y?的交点C的横坐标为

xC?x1?x2272?74，

得 x1+x2=

．选C．．

解法2 （代数推理）由已知有

2x1?1??x1?1??32， ①

32 ?x2?1??log2(x2?1)?， ②

x1?1这表明，单调函数f?x??x?log2x在x?2,x?x2?1两处的函数值相等，由单调

性得自变量相等

2x1?1?x2?1，

代人①得

?x2?1???x1?1??32?x1+x2=

x72．选C．

也可以认为单调函数f?x??2?x在x?x1?1,x?log2?x2?1?两处的函数值相等． 解法3 （特征否定法）由x1满足2x?2x?5，x2满足2x?2log2(x?1)?5，得

2?2?2x1?2x1

?2?1.5?2,1.52?2?2?2log2(2?1)?2x2?2log2(x2?1)?2?2.5?2log2(2.5?1),1?x1?1.5,

有

2?x2?2.5,，

相加知 3?x1?x2?4，

这就排除了（A）、（B）、（D），选（C）．

评析 如果考生的知识系统不完整，不知道方程与函数的联系，本题会无从下手．如果考生的知识系统比较完整，用数形结合或代数推理的方法均可以完成，但有小题大做的浪费；若能洞察题目有单调函数的背景，并掌握选择题的特点，则由估算就能排除A、B、D，很快得出C．相关题：

（1）人教版高中数学必修1（A版）P91练习：借助计算器或计算机，用二分法求方程

x?3?lgx在区间?2,3?内的近似解（精确到0．1）

x（2）（第9届希望杯高二竞赛题）设?,?依次是方程log2x?x?3,2?x?3的根，

则???? ．（继续参见文[9]例2，文[10]例1）

例16 已知函数f(x)?2则f?1x?3，f?1+， (x)是f(x)的反函数，若mn?16（m，n?R）

(m)?f?1(n)的值为（ ）

（A）?2 （B）1

x?3（C）4

?1（D）10

解法1 先求出f(x)?2f?1的反函数为f?x??log2x?3?x?0?，则

(m)?f?1(n)?log2m?3?log2n?3?log2m?log2n?6?log2mn?6?log216?6??2.

解法2： 由2?mn?24f?1?m??32f?1?m??3?2f?1?m??f?1?m??6知f?1(m)?f?1(n)小于0，对照

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