近世代数练习题

近世代数练习题（一） 1 判断题：

1.1 设A与B都是非空集合，那么A?B?xx?A且x?B。（ ） 1.2 A×B = B×A （ ）

1.3 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1.4 如果?是A到A的一一映射,则??1???1。（ ）

[?(a)]=a。( )

1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）

1.6 设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z上，定义“?”：a?b=ab(a,b∈Z)，则“?”是Z的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 填空题：

2.1 若A={0,1} , 则A?A= _____________________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A?A=_____________________。

2.5 设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A?____________________ 。 2.6 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?12

?f?a???_________。

2.7 设A =｛a1, a2,?a8｝，则A上不同的二元运算共有____________________个。 2.8 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义_______个从A到B的映射，其中有______________个单射，有_______个满射，有_________个双射。

2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.10 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

2.12 集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

2.13 设A =｛a, b, c｝，那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：?a?,?b?是两个等价类。则?a???b??______________。

2.15 设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么

Ai?Aj?______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A的等价关系～如下：a ～ b?2|a-b，那么A的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，～是M上的合同关系，则由～给出M

的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn（F）中，规定等价关系~:A~B?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系~如下：A~B?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B?M,定义A~B?秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：

3.1 设?是集合A到B的一个映射，对于a,b?A，规定关系“~”：

a~b??(a)??(b)．证明：“~”是A的一个等价关系．

3.2 在复数集C中规定关系“~”：a~b?|a|?|b|．证明：“~”是C的一个等价关系． 3.3 在n阶矩阵的集合

Mn(F)中规定关系“~”

：A~B?|A|?|B|．证明：“~”是

Mn(F)的一个等价关系．

3.4 设“~”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意a?A，有a~a；（2）对任意a,b,c?A，若a~b,a~c,就有b~c．证明：“~”是A的一个等价关系．

?1g?Gb?gag．a~b?3.5 设G是一个群，在G中规定关系“~”：存在于，使得证

明：“~”是G的一个等价关系．

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