中国计量学院数学物理方法200 6~ 2007 学年第 2 学期B(1)

中国计量学院200 6 ~ 200 7 学年第 2 学期

《 数学物理方法 》课程 试卷（B）参考答案及评分标准

开课二级学院： 光电学院 ，学生班级： 05光信1，2，教师： 李劲松

一、填空(每空5分) 1. t 2. 0 3.

? 4.?3i 5. :以原点为中心的单位圆:z?1 6.满足C-R条件且一阶偏

微分连续 7.iw G（w）8.A

1?in(1?n2)?2ni1?n22n???i?cn?idn ……….. (2分) 二、an?2221?in1?n1?n1?n1?n2??1…………………………. (2分) 其中:limcn?limn??n??1?n22n?0……………………………. (2分)

n??n??1?n21?in因此: an? 收敛,且 an??1……………………. (2分)

1?in:limdn?lim.

三．解f(z)?x3?iy3?u(x,y)?iv(x,y)

故:u(x,y)?x3,v(x,y)??y3……………………………………. (2分)

?u?u?v?v?3x2,?0,?0,??3y2 ……………………………. (2分) ?x?y?x?y显然:u,v在全平面内有连续一阶偏导数,,故故:u(x,y),v(x,y)全平面处处可微,又令

?u?v?v?u???……………………………………………. (2分) , ?x?y?x?y得3x??3y, 即x?y?0?x?y?0 …………………. (2分)

可见,当且仅当x?y?0时,C-R方程成立,所以f(z)仅在z=0处可导,其它任何点不可导,由解析的定义知, f(z)于全平面内处处不解析……………………(2分)

2222《数学物理方法 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准 第 1 页 共 5页

四.w=

z?i是二值函数，题目规定在w(0)=i的条件下，求w(i)之值。实际上是规定在某一

分之上去求w(i),为此，我们应先根据题意确定是哪一分支，然后求w(i). 解： w=z2?1=(z?1)(z?1) 令z-1=r1e1 z+1=r2ew=r1r2ei(?1??2)i?i?2,

i(?1??2)?2k?2=r1r2e (k=0,1)…………….. (2分)

………………….. (2分)

因此二单值支为：w1=r1r2e w2=r1r2ei(?1??2)2i(?1??22??)z1?z2?0r1?r2?1如图所示：在z=0处，{……………. (2分)

?1???2?0∴w1(0)=i w2(0)=-i

∴按题意，应选w1一支来计算w(i)之值：……………. (2分) ∴w(i)在z=i处 r1=r2=

2 ?1??2??3??? ?2? 444=∴w1(i)=

2?2 e3???i4422ei?2=2i…………………(2分)

ej?0t?e?j?0t五.解 ? sin?0 t =，由F-氏变换线性性质有…. (2分).

2j?????1?j?0t?j?0t?j?t?j?te?edt?e?edt ? [sin?0 t] =??? ?2j???????????1??j????0?t?j????0?t1?edt?1?edt =??…. (2分). ?2j??????? =

1?2??????0??2??????0?? 2j《数学物理方法 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准 第 2 页 共 5页

=

?j??????0???????0??

=j???????0???????0??

注 sin?0 t的F-氏变换也是广义的，并应用了? [1]=2?????及象函数的位移性质 …. (2分).

六．f(z)?111??在复平面内有两个孤立奇点z?3和z?4,故函数

(z?3)(z?4)z?4z?3在如图1.50的圆域z?2＜1、环域1＜z?2＜2和圆外区域z?2＞2内均解析，我们能在这些区域中分别将函数展开为Taylor或Laurent级数。

1在z?2＜1中

?k111 ??????(z?2) ………….. 1 z?3(z?3)?11?(z?2)k?00111 ???z?4(z?2)?22z?211???() z?22k?01?22?k?k111所以 f(z)????(1?k?1)(z?2)

z?4z?3k?02这是一Taylor展开。

2在1＜z?2＜2中

0《数学物理方法 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准 第 3 页 共 5页

111??z?3(z?2)?1z?2111?z?2??k?0?1(z?2)=k?1?k?1?1(z?2)k

而

1的展开式同2式，故有 z?4?f(z)???k?022k?1(z?2)k??k?1?1(z?2)k

这是一具在正、负幂的Laurent展开。

3在z?2＞2中

111??z?4(z?2)?2z?2121?z?202??(z?2)?k?0kk?1??2k?1?k?11(z?2)k

而

1的展开式同时3式，故有 z?3?k?1f(z)??2k?11(z?2)k??k?1?1(z?2)k??(2k?1?k?1?1)1(z?2)k

这是一仅具有负幂的Laurent展开。

……………………………………………………………………..…(2分) 七. 解:令u(x,t)?T(x)X(t) (1)

代入原方程第一式得:T(t)X(x)?a2T(t)X??(x) (2)...... (2分)

令

T(t)X??(x)????并将(1)式代入边界条件得固有值问题:

a2T(t)X(x)X????X(x)?0 (3) X(0)?X(L)?0 (4)

T??(t)?a2?T(t)?0 (5)……………(2分).

求使(3)—(4)具有非零解的?值及对应的非零解 ??0时,无非零解. 当??0时,解得?n?(n?2), n=1, 2…3……………… lXn(x)?sin

n?x , n=1, 2…3…………………………(2分) l《数学物理方法 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准 第 4 页 共 5页

a2n2?2Tn(t)?0 （n=0,1,2, ）....... (2分) 将?n代入（5）式得：Tn(t)?l2设其通解为 Tn(t)?Cncosan?an?t?Dnsint ll由此得原方程的解为：un(x,t)?Tn(t)Xn(x) （n=0,1,2, … ） 叠加之，得形式解为：u(x,t)??(Cncosn?1??an?an?n?t?Dnsint)sinx......(2分) llln?5?x??(x)?Asinx ll将上式代入边界条件得：u(x,0)??Cnsinn?1?ut(x,0)??Dnn?1an?n?sinx?0........(2分) ll由Fourier展式的唯一性知：Cn?A n=5

Cn?0 n?5 Dn?0 （n=0,1,2）

因此：u(x,t)?

?Acosn?1?5a?5?tsinx x?[0,l] ，t?0…………(3分) ll《数学物理方法 》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准 第 5 页 共 5页

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