概率笔记(3)

由例7知，若X～N（0，1），则X2～?2(1)=?(设X1，X2...，Xn～N(0，1)，且相互独立。 可知X2111,)22

，X2...，Xn22～?2(1)=?(ni?111,)，且相互独立。 22n1X～?(,)。此时我们称

222in由?分布的可加性可知，?Y=?i?1nXi2服

从自由度为n的卡方分布，记为Y=?i?1Xi2～?2(n)，其概率密度为：

?1n2ny?()?1?2y2e2,y?0?fY(y)??n?()?2?0,y?0?

即?(nn12,)＝?(n)22 结论：设X1，X2...，Xn～N(0，1)，且相互独立。

则?i?1Xi2～?2(n)＝?(n1,) 22 10.2 ?2分布的可加性

m1n12,)，Y～?(n)＝?(,)。 2222m?n12,)＝?(m?n) 由?分布的可加性得知，X+Y～?(22设X，Y相互独立。X～?2(m)＝?(分布具有可加性。

结论：设X，Y相互独立。X～?2(m)，Y～?2(n)。

则X+Y～?2(m?n)

11. t分布

设X,Y相互独立。X～N（0，1），Y～?2(n)。则有度为n的t分布。记为XY/nXY/n可见?2服从自由～t(n)。其概率密度为：

2)(1?t2?n?12?(h(t)?n?1?n?()2nn)，???t???

t分布概率密度的图形类似于标准正态分布的概率密度。n越大，t当分布和标准正态分布越接近。当n>45的时候，t分布和标准正态

分布已经非常接近，此时可以用标准正态分布近似代替t分布。

事实上我们有：

n???limh(t)?12?e?t22,???t???

即当n趋近＋?时，t分布的极限分布就是标准正态分布。 t分布的上?分位点：

设X~t(n)，若t?(n)满足条件P{X>t?(n)}=?，0

t1??(n)??t?(n)

而当n>45时，近似有t?(n)＝z?（正态分布的上?分位点）

12. F分布

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