§8.4双曲线的简单几何性质例题（一）

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.

解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：

x2y2x2y2 ?2?1 (a1?b1?0）；2?2?1 (a2,b2?0）；2a1b1a2b2离心率分别为e1,e2， 依题意：a1－a2=4且e1:e2=

c1c23：?， a1a27又c1=c2=13, ∴a1=7,a2=3.

2222故b12?a1?c12?36,b2?c2?a2?4.

∴所求椭圆与双曲线方程分别为：

x2y2x2y2??1或??1. 493694当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为

y2x2y2x2??1或??1. 493694例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.

解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）,则

y2y1???1 x2x1即x1·x2+y1y2=0 ①

把y=ax+1代入3x2－y2=1得3x2－(ax+1)2=1

化简得 （3－a2）x2－2ax－2=0 ② ∴x1+x2=

2a2, ,x·x=－12

3?a23?a2则y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1

2=a?22a?a??1?1 22a?33?a2+1=0

3?a2把y1y2=1代入①得x1x2+1=0，即?∴a=±1，再由②，若方程有解，Δ>0， 则4a2+4×2(3－a2)>0 解得a?6,即a=±1成立.

—1—

∴当a=±1时，以AB为直径的圆各过原点.

x2y22例3 在双曲线2?2?1(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使OA?OB?c，其中c

ab是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.

解：设A（x1,

bbx1）,B(x2,－x2),P(x,y). aa由中点坐标公式得 x1+x2=2x,

b(x1－x2)=2y a4a2y22ay2

. ∴x1－x2=,4x1x2=4x－2bbc22c222又∵OA?2x1,OB?2x2,

aa2c422∴c=OA?OB?4x1x2

a4

22∴x1x2=±a2

4a2y2. ∴±4a=4x－2b2

2

x2y2整理得 2?2??1即为所求轨迹方程.

ab说明：此题利用点在渐近线上特点，可以简化假设点的坐标，减少解题层次.

例4 已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于3，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，

且与直线F1F2的夹角为φ,tanφ=

21,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点2为Q，且PQ:QF2?2，求此双曲线的方程.

说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法. 解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系

x2y2设双曲线方程为2?2?1 (a>0,b>0)

abF1(－c,0),F2(c,0) ∴PF2:y=

21(x－c). 2 —2—

∴P(0,－

21c) 2又∵

PQ?2由定比分点公式得 QF2x2y24c221c22c21?1 Q(,?c)代入2?2?1中有2?236ab9a∵c2=a2+b2

∴16(b)4?4(baa)2?21?0.

∴

ba?3,又∵ab=3 ∴a2=1,b2=3

∴双曲线方程为x2

－y23?1. 36b—3—

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