三角形的五心一次看个够(3)

11S?AOB??OA?OB?sinC??OA?OB?tanC?cosC

2211S?AOC??OA?OC?sinB??OA?OC?tanB?cosB

22因此只需证

OB?OC?cosA?OA?OB?cosC?OA?OC?cosB

先证第一个等式

OB?OC?cosA?OA?OB?cosC cosCcos?AOEOEOEOC????（E 、C、D、O四点共圆,?C,?AOE为?DOE的cosAcos?COEOAOCOA补角；E 、O、F、A四点共圆,?A,?COE为?FOE的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。 特别性质：3.三角形四心与面积关系

1.欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。

2.欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。

3.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 证明：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

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