所以直线AB恒过定点Q(k,1)? ------------------------------------------7分 (2)PQ的方程为y?1kx0?2(x?k)?1，与抛物线方程y?x2联立，消去y，得
2x0?k2kx0?4(2k2?2)x0?2kx?x??0
x0?kx0?k2①
设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则
2kx0?4(2k2?2)x0?2k ① x3?x4?,x3x4?x0?kx0?k要证
PMPN?QMQN，只需证明
x3?x0k?x3，即 ?x4?x0x4?k2x3x4?(k?x0)(x3?x4)?2kx0?0 ②
由①知，
2(2k2?2)x0?4k2kx0?4②式左边=?(k?x0)?2kx0
x0?kx0?k2(2k2?2)x0?4k?(k?x0)(2kx0?4)?2kx0(x0?k)??0
x0?k①
故②式成立，从而结论成立? ------------------------------------------15分
12 设a,b,c,d为正实数，且a?b?c?d?4 证明：
①
①
a2b2c2d2????4?(a?b)2 bcda①
证明 因为a?b?c?d?4，要证原不等式成立，等价于证明
a2b2c2d24(a?b)2????a?b?c?d? ① ---------------5分 bcdaa?b?c?d事实上，
a2b2c2d2????(a?b?c?d) bcdaa2b2c2d2?(?b?2a)?(?c?2b)?(?d?2c)?(?a?2d)
bcda
?
1111(a?b)2?(b?c)2?(c?d)2?(d?a)2 ②--------------10分 bcda由柯西不等式知
(a?b)2(b?c)2(c?d)2(d?a)2[???](a?b?c?d)
bcda?(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2 ③--------------15分
又由|b?c|?|c?d|?|d?a|?|b?a|知
(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2?4(a?b)2 ④
由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立?------------------------------------20分
湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）
姓名： 班级 ： 分数 ：
一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）
xx1 方程9?1?3?5的实数解为
①
①
2 函数y?sinx?cosx(x?R)的单调减区间是
①
①
3 在△ABC中，已知AB?AC?4，AB?BC??12，则AB＝
①
①
4 函数f?x???x?2??x?1?在区间?0,2?上的最大值是 ，最小值是
①
①
25 在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、 半径为R的圆与△ABC的边有公共点，
①
其中A??4,0?、 B??6,8?、 C??2,4?，则R的取值范围为
①
6 设函数f?x?的定义域为R，若f?x?1?与f?x?1?都是关于x的奇函数，则函数
①
y?f?x?在区间?0,100?上至少有 个零点?
7 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意
①
两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为
①
8 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中
①
（第7题）
的一种 其中镀2金2银的概率是
①
①
9 在三棱锥A?BCD中，已知?ACB??CBD，?ACD??ADC??BCD??BDC
①
??，且cos??10 已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为 ? 10①
10 设复数列?xn?满足xn?a?1，0，且xn?1?①
axn 若对任意n?N 都有xn?3?xn， xn?1①
①
则a的值是
①
二、 解答题（本题满分80分，每小题20分）
x2?y2?1上的三点 若 11 直角坐标系xOy中，设A、 B、 M是椭圆C:4①
①
34x2OM?OA?OB，证明：线段AB的中点在椭圆?2y2?1上
552①
12 已知整数列?an?满足a3??1，a7?4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次
①
成等比数列
①
(1) 求数列?an?的通项公式；
(2) 求出所有的正整数m，使得am?am?1?am?2?amam?1am?2
①
13 如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE?AD，垂足H?
①
过点H作平行于CE的直线，与直线AC、 DC分别交于点F、 G? 证明： (1) 点A、 B、 F、 H共圆； (2) 四边形BFCG是矩形
①
14 求所有正整数x，y，使得x?3y与y?3x都是完全平方数
①
①
22
高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答
一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）
xx1 方程9?1?3?5的实数解为
①
①
提示与答案：x＜0无解; 当x?0时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32
①
2 函数y?sinx?cosx(x?R)的单调减区间是
①
①
提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， [①
k??k???,?],k?Z? 2422①
3 在△ABC中，已知AB?AC?4，AB?BC??12，则AB＝
提示与答案：AB?AC?AB?BC?AB?16，得AB?4
①
24 函数f?x???x?2??x?1?在区间?0,2?上的最大值是 ，最小值是
①
①
2提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0
①
5 在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、 半径为R的圆与△ABC的边有公共点，
①
其中A??4,0?、 B??6,8?、 C??2,4?，则R的取值范围为
①
85
提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B [5，10]
①
①
6 设函数f?x?的定义域为R，若f?x?1?与f?x?1?都是关于x的奇函数，则函数
①
y?f?x?在区间?0,100?上至少有 个零点?
提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z? 又可作一个函数f?x?满足问题中的条件，且f?x?的 一个零点恰为x?2k?1，k∈Z? 所以至少有50个零点? 7 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意
①
两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为
①
提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以
①
①
（第7题）
8 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中的一种 其中
①
镀2金2银的概率是
①
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