2012丰台二模数学（理）试题答案(2)

中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com 11当0?x?时，f?(x)?0，f(x)在(0,)是减函数，

2211当?x?1时，f?(x)?0，f(x)在(,1)是增函数， 221所以 时取得最小值，即f(x)在x?211f()?ln． ????????4分 22（Ⅱ）因为 f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)，

所以 f?(x)?lnx?ln(a?x)?ln所以当x?x． a?xa时，函数f(x)有最小值． 2?x1，x2∈R+，不妨设x1?x2?a，则

x1lnx1?x2lnx2?x1lnx1?(a?x1)ln(a?x1)?2?x1?x2x?xln(12) 22?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?． ???

?????8分

（Ⅲ）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当n?1时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n?k( k∈N*)时命题成立，

即若x1?x2???x2k?1，则x1lnx1?x2lnx2???x2klnx2k??ln2． 当n?k?1时，

kx1，x2，?，x2k?1?1，x2k?1满足 x1?x2???x2k?1?1?x2k?1?1．

设F(x)?x1lnx1?x2lnx2???x2k?1?1lnx2k?1?1?x2k?1lnx2k?1， 由

（

Ⅱ

2）

1?1得

F(?1?x)?=

????(x?2k?1?x?)k?1?2

l2xk?n(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?(x1?x2?...?x2k?1)ln2

=(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2k?1?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?ln2．

由假设可得 F(x)??ln2?ln2??ln2kk?1，命题成立．

所以当 n?k?1时命题成立．

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

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所

以

若

?xi?1i?12n，则

n xlnx??ln2?iii?12n． ????????13分 (i,n?N*)（证法二）若x1?x2???x2n?1， 那么由（Ⅱ）可得

x1lnx1?x2lnx2???x2nlnx2n

?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]???(x2n?1?x2n)ln[(x2n?1?x2n)?ln2] ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?(x1?x2?...?x2n)ln2 ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?ln2

?(x1?x2?x3?x4)ln(x1?x2?x3?x4)??(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?2ln2 ???(x1?x2?...?x2n)ln[(x1?x2???x2n)?ln2]?(n?1)ln2??ln2n．

????

????13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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