第九章 整式(3)

江同营 初一上数学讲义

6． 已知x?y?6x?2y?z?3?10?0,求:x?z?y的值

2237． （规律探究题）已知x?1，计算?1?x??1?x??1?x,?1?x?1?x?x?1?x，

22???1?x??1?x?x2?x3??1?x4

2 （1）观察以上各式并猜想：?1?x?1?x?x???xn??______．（n为正整数）

（2）根据你的猜想计算：

2345 ①?1?2?1?2?2?2?2?2?______．

?? ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．

999897 ③?x?1?x?x?x???x2?x?1?=_______．

（3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①?a?b??a?b?=_______．

22 ②?a?b?a?ab?b=______．

3223③?a?b?a?ab?ab?b=______．

????3321. 说明：(2a?4)(4?2a)?(b?2a)(b?2a)的值和a无关。

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第5节 因式分解

【知识要点】

1. 提取公因式法

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利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、三去除”。“一找”就是第一步要折过去找出多项式中各项的公因式；“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”就是第三步当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式。

例如分解因式：9x3y?12x2y2?18x2y3z，当确定公因式为3x2y后，则

(9x3y?12x2y2?18x2y3z)?3x2y?3x?4y?6y2z，所以有，9x3y?12x2y2?18x2y3z ?3x2y(3x?4y?6y2z)。

2. 公式法

逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：

（1） 公式左边必须是一个二项式，且符号相反；

（2） 两项中的每一项必须是某个数或是自的平方形式； （3） 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；

（4） 公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式。 3. 十字相乘法

(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab 反过来可得： x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

例如x2?3x?2中常数项是2，可以分解为2?1，而且2?1?3，恰好是一次项系数，所以

x2?3x?2?(x?2)(x?1)。

22在对多项式x?3x?2分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解，x分解为x?x，常数项2分

解为2?1，把它们用交叉线来表示：

x ?2

x ?1

按十字交叉相乘，它们积的和就是2x?x?3x，所以

2 x?3x?2?(x?2)(x?1)

4. 分组分解法

分组分解方法比较灵活起关键在于分组要适当，它的分组原则是： ①分组后能直接提取公因式； ②分组后能直接运用公式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解方法。通过对多项式进行适当的分子，把多项式转化为可以应用的基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

常用的分组方法

方法一：分组后能提前公因式

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（1） 按字母分组

例如：分解因式：ax?ay?bx?by可以按某一字母为准分组，若按含有字母a的分为一组，含有字母

b的分为一组，即ax?ay?bx?by?(ax?ay)?(bx?by)?a(x?y) ?b(x?y)，这就产生了公因式(x?y)。

（2） 按系数分组

例如：分解因式：a2?ab?3b?3a，我们观察到前面两项的系数比和后面两项的系数之比恰好相等，即1:(?1)?3:(?3)，则a2?ab?3b?3a?(a2?ab)?(3a?3b)

?a(a?b)?3(a?b)。

（3） 按次数分组

例如：分解因式：x3?x2?x?y3?y2?y，此多项式有两个三次项，有连个二次项，有两个一次项，按次数分组为：(x3?y3)?(x2?y2)?(x?y)。

方法二：分组后能运用公式

例如：分解因式：x2?2xy?y2?z2

可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x?y)2。而(x?y)2?z2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。

方法三：重新分组

例如：分解因式：4x?3y?x(3y?4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组，

24x2?3y?x(3y?4)?4x2?3y?3xy?4x

?(4x?4x)?(3y?3xy)

?4x(x?1)?3y(x?1)?(4x?3y)(x?1)

2【基础训练】

1. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） （A）2?a?b??2a?2b

2

（B）m?1??m?1??m?1?

2（C）x?2x?1?x?x?2??1 （D）a?a?b??b?1??a?ab?b?1?

2??2. 多项式9a2x2?18a3x3?36a4x4各项的公因式是（ ）

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（A）a2x2 （B）a3x3 （C）9a2x2 （D）9a4x4

3. 下列因式分解中，正确的是（ ） （A）3m2?6m?m?3m?6?

2（B）a2b?ab?a?a?ab?b?

2（C）?x2?2xy?y2???x?y? （D）x2?y2??x?y? 4. 下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ） （A）a2?4 5.

（B）a2?2

（C）?a2?4

（D）?a2?4

3ma2b?6mab2分解因式的正确结果是（ ）

2?3a?6b?（C）3mab?a?2b?（D）3ma2b2?（A）3ma2b?2mab（B）mab???11??? ba??6. 若4x2?mx?9是完全平方式，则m的值是（ ） （A）3

（B）4

（C）12

（D）±12

27. 已知a?b??3，ab?2，则?a?b?的值是（ ）。

（A）1 （B）4 8. 分解因式：

（C）16 （D）9

322（1）?a?b??m?n???a?b??m?n? （2）?2xy?2xy?13xy 2

29. 利用因式分解计算：201?1992

210. 分解因式：（1）4x2??y?z? （2）a4?2a2b2?b4

11. 分解因式：（1）x2?3xy?2y2 （2）x2?1?4x2

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??2江同营 初一上数学讲义

a2?b212. 已知a(a?1)?(a?b)??1，求?ab的值。

22

13. 分解因式： (a2?8a)2?22(a2?8a)?120

14. 分解因式：a2?b2?2bc?c2

【能力提高】

1. 分解因式：7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)

2. 分解因式：x2?y2?x2y2?4xy?1

3. 分解因式：(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?48

44. 分解因式x?4

2325. 已知x?x?2，求x?3x?1的值。

6. 证明两个连续偶数的平方差能被4整除

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