新教材数学学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与(4)

∴|x1－x2|＝21－k

?x1＋x2?2－4x1x2＝，

1－2k2

4

2

1141－k

S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝23，

221－2k2

121

解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，

432∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 四、探究与拓展

x2y2

14．已知F1，F2分别是双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1

ab1

与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )

3A.2 C.3

考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A

b2

解析 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝. a1|MF1|1

又sin∠MF2F1＝，所以＝，

3|MF2|3即|MF2|＝3|MF1|.

2b2

由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，

a所以b2＝a2，

所以c2＝b2＋a2＝2a2， c

所以离心率e＝＝2.

a

x22

15．已知双曲线C：2－y＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同的交

a点A，B，直线l与y轴的交点为P. (1)求离心率e的取值范围； →5→

(2)若PA＝PB，求a的值．

12考点 双曲线的简单性质

3B. 2D．2

题点 由双曲线方程研究其他问题

解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，得 x2??a2－y＝1，

方程组?有两个不同的解，

??x＋y＝1消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①

2

??1－a≠0，∴?

422

??Δ＝4a＋8a?1－a?＞0，

2

解得－2＜a＜2且a≠±1. 又∵a＞0，∴0＜a＜2且a≠1.

1＋a2

＝a

1＋1， a2∵双曲线的离心率e＝∵0＜a＜2且a≠1， ∴e＞

6

且e≠2， 2

∴双曲线C的离心率e的取值范围是?

6?， 2∪(2，＋∞)． ?2?

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)． →5→

∵PA＝PB，

12

5

∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，

125

由此可得x1＝x2.

12

∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 172a2

∴x1＋x2＝x2＝－，

121－a2522a2

x1x2＝x2＝－，

121－a2

2892289消去x2得－＝，即a＝. 1691－a26017

又∵a＞0，∴a＝.

13

2a2

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