2010高三数学月考试卷（文科）(2)

n2nnn

y－4＝2(x－n)，令y＝0，则x＝2，即an＝2；(3分)

∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，则：an＋cn＝2n，∴cn

3n

＝2n－an＝2 (5分)

n2

(2)若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|＝2bn?n＝2?n＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 (9分)

111411

(3)∵3＝n33n＝3＝3(n－)(11分)

n＋1

an·(2＋cn)2(2＋2)4n(n＋1)411111414∴Sn＝(1－＋－＋?＋－)＝(1－)<

3223nn＋13n＋13141

又1－随n的增大而增大，∴当n ＝1时Sn的最小值为：3(1－)＝

n＋11＋1

23，

24

∴3≤Sn<3(13分)

21.(本小题满分13分)

解：(1)当a＝0，b＝3时f(x)＝x3－3x2，∴f′(x)＝3x2－6x，

∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f(x)在0和2处分别达到极大和极小，由已知有

t<0且t＋3>2，因而t的取值范围是(－1,0). (4分)

f(x)

(2)当a＝0时，x＋lnx＋1≥0即x2－bx＋lnx＋1≥0

lnx1lnx11

可化为x＋x＋x≥b，记g(x)＝x＋x＋x(x≥2)，

1－lnx1x2－lnx

则g′(x)＝1＋x2－x2＝x2.(6分)

12

记m (x)＝x－lnx，则m′(x)＝2x－x，

122

∴m(x)在(2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增.

212

∴m(x)≥m(2)＝2－ln2>0

1

从而g′(x)>0，∴g(x)在[2，＋∞)上递增

155

因此g(x)min＝g(2)＝2－2ln2≥b，故b≤2－2ln2. (9分)

(3)假设OA⊥OB，即OA·OB＝(s，f(s))·(t，f(t))＝st＋f(s)f(t)＝0 故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1，[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1

2ab

由s，t为f′(x)＝0的两根可得，s＋t＝3(a＋b)，st＝3，(0

9

(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝ab＋4ab≥236＝12 即a＋b≥23，这与a＋b<23矛盾.

故直线OA与直线OB不可能垂直. (13分)

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