2018年湖北省随州市中考数学试卷(7)

轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1， ∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

，

解得：

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， 所以点G的坐标为（1，4）．

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k， 过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

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∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=

B′D=

m，

m），

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

，

解得：∴k=1；

（舍），，

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均为钝角， ∴△AOQ≌△PQN，

如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ≌△PQN，

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∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN， ∴∠MOQ=∠HQN，

∴△OQM≌△QNH（AAS）， ∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1， 解得：x=当x=

（负值舍去）， 时，HN=QM=﹣x2+2x+2=

+

，点M（

，﹣1）；

，0），

∴点N坐标为（或（如图3，

﹣

，﹣1），即（

，﹣1），即（1，﹣1）；

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M1（

，0）、N1（

，﹣1）；M2（

，0）、N2（1，﹣1）；

M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．

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