数学史教案(朱家生)(3)

毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。（19）（芝诺的悖论在当时为什么困难？“自圆其说”与“公理化思想方法产生”的关系？）

巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者。（20）

巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。（20） 巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。（20）（什么学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的？）

巧辩学派在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问题，又让古希腊人陷入了困惑。（20）（感谢对手！）

所谓三大尺规作图不能问题是指，只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，是后者体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。（20）（三大尺规作图不能问题是指什么？）

围绕三大作图不能问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品。（20）（研究不但要重视结果，更要重视研究的过程，及过程中产生的副产品。）（故事：煮石头、煮铁钉）

巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样一个认识：即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在性，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾，这样的思想促进了希腊数学的严密化。（21）（希腊学者为什么要把作图工具只限于直尺和圆规？）

2000多年来，三大作图（不能）问题的研究，花费了人们的大量心血。（人们对此研究了多少年？）直至1831年，法国数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼于1882年又证明了π的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，到此，三大尺规作图（不能）问题才彻底得以解决。（什么时间？什么人？解决了什么问题？2000多年来的研究过程的意义？）（21）

2.1.4柏拉图学派

继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是柏拉图学派。（继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是什么学派？）（21）

柏拉图是古希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。（柏拉图出生于何地？）（21）

公元前407年，柏拉图20岁时曾拜年逾六旬的苏格拉底为师，他是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底逻辑思想的影响。（柏拉图几岁拜谁为师？受谁的逻辑思想的影响？）（21）

公元前399年，在苏格拉底被雅典重建的民主政权处死后，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到了雅典。（21）（柏拉图12年的游历生涯为何称为被迫？游历了哪些地方？）

公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校，学校兼收女生，并实行分层次教育。（在什么时间？什么地点？创建什么性质的学校？是否招收女生？）（21）

柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。据说在他学校的门口甚至挂上 “不懂几何者不得入内”的告示。（柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的认识如何？ “不懂几何者不得入内”的告示说明了什么？）（21）

柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究。（柏拉图学派为什么特别重视对立体几何的研究？）（21）

柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。（柏拉图学派结合什么成果？从而提出了几何学的原子说。（21））

柏拉图学派设想物质世界的本原不是土、气、水和火，而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此，神就用它们构成4种正多面体的界面：火微粒是正四面体，圡微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体；最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成了宇宙。（柏拉图学派设想物质世界的本原是什么？为什么？）（21）

柏拉图在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则。他指出：“首先我假定某个我认为是最有力的假定，然后肯定凡与之相符合的就是真的，无论是关于原因还是别的什么，只要与之不符合的，我就认为它是不真的。”这里柏拉图明确提出，数学证明是以某些自明的假设，即公理作为出发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为“假设法”。（22）

显然这正是公理化方法的开端，对于形成欧几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代起，数学就已经有了公理化的思想。（柏拉图在谁逻辑思想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则？古希腊方法论的最高成就是什么？我们认为数学公理化的思想至少从柏拉图时代起就已经有了。 ）（22）

柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯。有人认为，古希腊数学家中，他的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得《几何原本》，特别是第5、6、7卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论，其中包括相当严密的实数定义，处理了所谓“不可公度量”既无理数问题。（柏拉图学派中最杰出的数学家是谁？欧多克索斯对数学的最大贡献是什么？）（22）

欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。并形成了最早的圆锥曲线理论。（最早的圆锥曲线理论是由谁建立的？）（22）

柏拉图学派的亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学。亚里士多德把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学。（亚里士多德对数学的最大贡献是是什么？）（22）

2.2希腊数学的黄金时代

（有前人的积奠才有黄金时代的出现）

早期数学的进程在很大程度上取决于人类历史发展的进程。（早期数学的进程在很大程度上取决于什么的进程？）（23）

亚历山大城是托勒密王国的首都，经历代托勒密国王的经营，成为当时整个地中海地区最大的城市，在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养。优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生。（关键

词：最大城市、兴建图书馆、六十万卷、国家、研究机构、研究人员、国家供养。）（亚历山大学派如何产生的？）（23）

亚历山大的东征，客观上促进了东西方文化的融合，数学由此产生了新的生长点。（一分为二地看问题。当你遇到困难时，是否也看到了机遇？）（23）

亚历山大时期的数学发展有两个方向，其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯；其二是以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。（亚历山大时期的数学发展沿那两个方向发展？代表人物是谁？）（23）

阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。（那些数学家被称为亚历山大时期的三大数学巨人？黄金时代的代表应有众多杰出的数学家、数学学派的出现。）（23）

2.2.1欧几里得与他的《几何原本》

欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。（欧几里得出生于何地？应谁的要求到亚历山大主持数学学派的工作？）（24）

欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”（ “几何无王者之道” 是谁的名言？）（24）

欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。（将什么为代表的希腊成果，运用谁曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书？）（24）

欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他做出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。（欧几里得如何完成《几何原本》的？在整理过程中有那些伟大创造？《几何原本》完成的时间？）（24）

“原本”希腊文的原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。（24）

欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现在版本是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。全书分13卷，共有465个命题。（原稿已丢失，现在版本是以谁编写的修订本为依据的？全书分几卷？共有几个命题？）（25）

前六卷相当于平面几何内容，第一卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理。（25）值得指出的是，由于《几何原本》中第5公设所阐述的事实不像其他4个公设那样明显，人们怀疑它可能由前4条公设推出，（既不独立于前4条公设）。因此，在《几何原本》问世以后的2000多年中，许多人都曾试图由其它的公设给出这一公设的证明。

直到19世纪初由于罗巴切夫斯基、高斯、波尔约等人的工作导致了“非欧几何”

的诞生，人们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的，从而证明了这5个公设是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。（25）（第5公设，因何原因引来无数数学家2000多年的不懈研究？可见数学家对问题的态度……。我们从中可得到什么收获？）

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。他经历多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何其他著作、其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。（26）（ 《几何原本》是古希腊数学家谁的一部不朽之作，是约多少年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶？自哪年第一个印刷本出版后，至今已有多少种不同的版本？影响可与《圣经》比拟的数学著作是哪一本？ ）

诚然，正如一些现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远。使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义词。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的瑰宝。（26）（从《几何原本》结构上的缺陷与其历史上的影响，是否看出瑕疵掩盖不了其崇高价值？）

欧几里得还写了许多其他出色的著作，他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：（1）《数据》这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问题；（2）《论图形的分割》，研究将图形分割成比例的问题，共有36个问题。（纯数学方面的著作保留下来的有几本？各有几个问题？）（27）

2.2.2阿基米德的数学成就

古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。（27）

阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家，母亲出生于名门望族，且知书达理。（阿基米德出生于何处？）（27）

青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。这里的科学研究包括四个方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学和占星术也含有数学，故数学在亚历山大占有主导地位。（当时亚历山大的学术空气如何？科学研究包括哪些方面？数学在亚历山大占有主导地位吗？）（27）

在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。（在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了谁的数学著作？研究了古希腊时期谁的著作及安提丰等人关于什么问题讨论的种种方法？特别是谁的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本

工具？ ）（27）

阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表。他一直住在叙拉古。（阿基米德发明了投石炮、火镜等先进武器，让敌人吃尽苦头。）（27）

公元前212年，罗马人在其统帅马塞路斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前还在思考几何问题。（阿基米德临死前还在思考什么问题？）（27）

阿基米德的数学著作流传至今，按时间顺序，依次为《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。”（28）

阿基米德在力学方面的贡献也是相当杰出的。他是古希腊绝无仅有的应用试验进行力学研究的人，因而也是这门学科当之无愧的创始人。（28）

阿基米德应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范。在他的一篇题为《方法论》的手抄本中，他断言“力学便于我们发现结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明”。这一手抄本是海伯格1906年在君士坦丁堡发现的，那是阿基米德给埃拉托塞尼的一封信。（29）

阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积 ，可将它分成很多窄的平行条和重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。（29）

虽然“穷竭法”在欧几里得《几何原本》中已有记载，甚至更早的还可追溯到欧多克索斯，但是任何人都难以否认这样的事实；阿基米德对穷竭法的运用代表了古代用有限方法处理无限问题的最高水平。（32）

将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中。阿基米德对螺线的定义，其思想方法在古代数学中是独树一帜的。（32）

阿基米德杰出创造微小三角形的引入，它本质上类同于微积分中的微分三角形，阿基米德的这一例子，是希腊几何中可以找到的孕育微分法的为数不多的最为优秀的杰作之一。（32）

2.2.3阿波罗尼斯与《圆锥曲线》

阿波罗尼斯出身于小亚细亚西北部的城市柏加，青年时代的阿波罗尼斯曾客居亚历山大城，追随欧几里得的学生学习数学。他写过多部数学著作，但以《圆锥曲线》最为成功，是古希腊继《几何原本》之后的又一部力作。（出生于何处？最为成功的数学著作是哪一部？）（33）

阿波罗尼斯的《圆锥曲线》共8卷，有487个命题，现存前7卷，第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。（33）（甚至还得到类似于

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