九年级数学上学期期末复习卷(5)

26．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求FG的长；

（3）求tan∠FGD的值．

考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形． 专题： 几何综合题． 分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线； （2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；

（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=

BH=3

．解Rt△AFG，得AG=

=

，则tan

AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=∠FGD可求．

解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°， 而OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD=CD=6．

在Rt△CDF中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

在Rt△AFG中，∵∠A=60°， ∴FG=AF×sinA=9×

=

；

（3）解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH，

∴∠FGD=∠GDH．

在Rt△BDH中，∠B=60°， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=3，DH=

BH=3

．

在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°， ∴AG=AF=，

∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，

∴tan∠GDH===， ．

∴tan∠FGD=tan∠GDH=

点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．

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