等差、等比数列的性质总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。

（4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn?na1?为0.

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项222am?an?2ap.

注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列

（7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

*S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1

2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??n S偶nan?1an?1

2、当项数为奇数2n?1时，则

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

An?f(n)， Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1（9）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a1?0，d?0， 由?*?an?0可得Sn达到最大值时的n值．

?an?1?0 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

?an?0即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn达到最小值时的n值．

a?0?n?1或求?an?中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n?p?q 2

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等比数列性质

1. 等比数列的定义：2. 通项公式：

an?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?， 首项：a1；公比：q qn?m推广：an?amqn?m， 从而得q3. 等比中项

?aan或q?n?mn amam2（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?ab或

A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项

互为相反数）

（2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1

4. 等比数列的前n项和Sn公式：

(1) 当q?1时， Sn?na1 (2) 当q?1时，Sn?a1?1?qn?1?q?a1?anq

1?q?5. 等比数列的判定方法

a1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为常数） 1?q1?q（1）用定义：对任意的n,都有an?1?qan或列

an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数an （2） 等比中项：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}为等比数列 （3） 通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列

nn（4） 前n项和公式：Sn?A?A?B或Sn?A'B?A'A,B,A',B'为常数?{an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

??an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an?a1qn?1

如奇数个数成等差，可设为?，

示）；

aa,,a,aq,aq2?（公比为q，中间项用a表2qq8. 等比数列的性质 (1) 当q?1时

①等比数列通项公式an?a1q函数，底数为公比q

n?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数q②前n项和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a系数和??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，

1?q1?q1?q常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n?N*,在等比数列{an}中,有an?amqn?m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t?N*),则an?am?as?at.特别的,当n+m=2k时,得

an?am?ak2

注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

ak(4) 列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n} (k为非零常

bnan数) 均为等比数列.

(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列

(6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (7) 若{an}为等比数列,则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列

(8) 若{an}为等比数列,则数列a1?a2?????an, an?1?an?2?????a2n,

a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列

(9) ①当q?1时， ②当0

a1?0，则{an}为递减数列1?0，则{an}为递增数列{a{a1?0，则{an}为递减数列, a1?0，则{an}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n (n?N*)时,

S奇1?,. S偶q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn?m?Sn?qn?Sm

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