2010年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答(5)

八、设函数f在[0,??)上一致连续，且对任何x?[0,1]，有证明：

ilmfx(n?)0?，

n??limf(x)?0。

x???试举例说明，仅有证明

f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。

由f在[0,??)上一致连续，对??当y1,y2?[0,??) 且|y1?y2便有|?0， ???0，

|??时，

?2；

。现把区间[0,1]f(y1)?f(y2)|?1??取定充分大的正整数k，使得kk等分，设其分点为

ixi?,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于?k对于任意

。

x?1，x?[x]?[0,1)；

从而必有xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|??； 由条件对每个xi，有limf(xi?n)?0；

n??于是存在N，当n?N时，|f(xi?n)|?故当x?N?1时，便有

?2，对i?0,1,?,k都成立；

|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|????22??，

即得

limf(x)?0，结论得证。

x??? 21

设

f在[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]，有limf(x?n)?0，

n??但推不出上述结论。 例如函数

f(x)?xsin?x满足在

[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]，有

1?x2sin2?xlimf(x?n)?0，

n??但不成立limf(x)?0 。 x???22

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