理论力学选解3

《理论力学》

(三)

张丽芳 翁国华 任俊士编著2001年9 月

习题选解张志忠

11-2小车以匀加速度a沿倾角为α斜面向上运动，在小车的平顶上放一重P的

物块，随车一同运动。问物块与小车间的摩擦系数f应为多少？

a P y

a α F N x

α P 解：物块的受力如图所示，根据直角坐标形式的质点运动微分方程，可得

Pag ?F?P?cosα?Fsinα?0式中, F?fN Fcosα??P?N?sinα?求解上列方程即可得 f?acosαg?asinα

11-13在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg，曲柄长30cm，绕O轴匀

速转动，转速为n = 120 rpm。求当曲柄OA运动至水平向右及铅垂向上两位置时，作用在活塞上的气体压力。曲柄质量不计。

A O α ae aa

α A

ar

ae

F

解：一、加速度分析

选取滑块A为动点，滑杆和活塞为动系，由加速度合成定理作出加速度矢量图。

πn?4πrad/s aa?ω2OA?480π2cm/s2?47.4m/s230?ae?aacosαω?当α?0时, ae?aa?47.4m/s02 α?900时, ae?0

二、计算气体压力

当曲柄OA运动至水平向右位置时，α= 00，根据直角坐标形式的质点运动微分方程，

F?mae?2.37kN

当曲柄OA运动至铅垂向上两位置时，α= 900，所以此时F = 0。 11-6重为P的球用两根各长L的杆支承如图，球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂

轴AB转动。如AB = 2b，杆的两端均为铰接，不计杆重，求杆所受的力。

y A ω M SAM a α α M B SBM P x

解：小球受力分析如图，对x、y轴写直角坐标形式的质点运动微分方程，

P ?SAMcosα?SBMcosα??ag SAMsinα?SBMsinα?P?0式中, a?ω2r?ω2l2?b2bl2?b2 sinα? cosα?ll解方程得 SAM?Pl2?ωb?g? SBM?Pl?ω2b?g?2bg2bg

11-9两物体各重P和G，用长为L的绳连接，此绳跨过一半径为r的滑轮，如开

始时两物体的高差为h，且Q > P，不计滑轮与绳的质量；求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

r O

r O Q h a

a

P

Q h

P 解：因为Q>P，所以重物Q将向下运动，而重物P则向上运动，由运动微分方

程得

Q?PagQ?P?a?gQ?P1 h?2?at22hQ?P?t?tQ?P Q?P?11-12质量为m的质点受固定中心排斥力F = μmr的作用，其中μ为常数，r为

质点至固定中心的距离。在初瞬时，r0 = a，υ0 = 0。求质点经过路程s = a时的速度。 解：根据质点的运动微分方程

d2r m2?F?μmrdt将上式改写成dυ?μrdr υdυ?μrdr υ ?υ υdυ??rμrdr00υr已知,υ0?0,r0?a,r?2a12a υ2?μra20 ?υ?a3μ

υ11-14重为P、初速为υ0的车厢沿平直轨道前进，受有与其速度的平方成正比的

空气阻力，比例常数为k；假定摩擦阻力系数为f ，求车厢停止前所经过的路程。

解：根据已知条件，阻力R = －kυ2，摩擦力F = fP， 由质点的运动微分方程

Pdυ ??kυ2?fPgdt将上式改写成1dυ?k?υ???υ2?1?Pgds?fP?υdυ ??fgds?k2?υ?1??fP??0sυdυ ?υ???0fgds0?k2?υ?1??fP?? fP?k2s? ?ln?υ?1??fgs02k?fP?υ02p?kυ0? s?ln??1?2gk?fP? 0

11-15在选矿机械中，两种不同矿物沿斜面滑下，在离开斜面B点时的速度分别

为υ1= 1 m/s和υ2 = 2 m/s；已知h = 1 m，α=300，求两种不同矿物落在CD所隔的距离s。

A α h B x C y 2D s 解：由质点的运动微分方程 dx?0 ?1?2dtdυy m?mg ?2?dtdυy将?2?式改写成 υy?gds m积分 ?υυydυy??0gdsy0υyth

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