数学基础(3)

(2) 矢量坐标阵的矩阵表达形式 利用矩阵乘的运算形式，有

据此，表达式

可写成矢量 的坐标阵与基的矩阵积，即

不难验证矢量的坐标阵a有如下的表达式

(1.2-30)

(1.2-31)

因此，矢量的坐标阵a可简写为

(1.2-31')

应该指出，根据定义矢量在几何上是一客观存在的量，与矢量基的选取无关。而矢量的坐标阵与矢量基有关。例如，有两个不同的矢量基记为

与

(见图1-5)。有

与

。矢量在这两个基上的坐标阵分别

图1-5 同一个矢量在不同基上的坐标阵

或

(3) 矢径的定义；矢量与矢径间的关系

(1.2-32') (1.2-32)

图1-4 矢径的分量与坐标

起点在基点O指向空间点P的矢量，称为点P的矢径，记为个坐标分别为r1, r2, r3，由图1-4可知，矢径标，即

。如果空间点P在基上的三

坐标阵的三个元素就是空间点P的三个坐

特殊情况，基矢量、与在其的基下的坐标阵分别为

，，

(4)几何矢量的运算与在同一个基下的坐标阵运算间的关系。

首先令矢量、与在基下的坐标阵分别记为a，b与c。由矢量的矩阵表达式，有

则由两矢量相等得到

(1.2-33) (1.2-34) (1.2-35)

可见相等的两矢量 与 的在同一个基上的坐标阵相等，即 a = b ；反之亦然。 将矢量的矩阵表达式分别代入矢量的数乘公式、矢量相加公式、矢量点积公式和矢量叉积公式，得到相应的矩阵运算公式

，

即

，

上述各表达式的左边为一些矢量的基本运算，各表达式的最右边为这些基本运算在同一基下对应的坐标阵运算式。现列于表1.2-1中。根据表1.2-1读者可很容易写出较复杂的矢量运算对应的坐标阵运算式。

矢量运算式

1.2.3 矢量的导数

(1) 矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义

坐标阵运算式

图1-6 矢量对时间的导数

上节已经提到，矢量是一与参考基无关的数学量，故它随时间的变化也与参考基无关。如图1-6所示，在时刻t，该矢量的大小与方向为

，到时刻t+?t，该矢量的大小与方向为

，且

，定义矢量在时刻t对时间的导数是另一个矢量，记为

(1.2-36)

从几何上考察或进行矢量导数的运算极不方便。下面将讨论矢量导数与其坐标阵导数的关系。

尽管矢量对时间的导数与参考基无关，但在不同的参考基上考察同一个矢量的变化，其结果将不同。现在某一参考基的导数。 在基

上考察一个矢量。定义

为矢量在参考基

上对时间

上考察它自身的三个基矢量(i=1,2,3)，显然在该基上它们不随时间变化，有

(i=1,2,3)

(1.2-37)

将矩阵对时间导数的表达式推广到矢量阵，故上式可简写为如下矩阵表达式：

(1.2-37')

由矢量的矩阵表达式，有

同理，

(1.2-38

)

(1.2-38')

由此可得到如下结论，矢量在基量在基

上对时间的导数为一矢量，它在该基的坐标阵等于矢

的坐标阵对时间的导数。

显然，对于标量?，对时间求导的左上标 r 无意义，即果所定义的参考基

。对于矢量求导，如

为公认或在约定的情况下，为了书写方便有时矢量求导的表达式也作

如下的简写，即。应该注意识别。

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