八年级数学下学期竞赛试卷（含解析） 新人教版(3)

18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D点在∠BAC的平分线上．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上． 【解答】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE=DF，

又∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴D在∠BAC的平分线上．

19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）． （1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；

（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 （1，0） ．

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【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；

（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可； （3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案． 【解答】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；

（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形， 连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0）， 故答案为：（1，0）．

20．先化简：

，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值

代入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解． 【解答】解：

=×，

=×

=﹣，

当a=0时，原式=1．

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21．解不等式组

，并写出它的所有正整数解．

【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2， 解不等式x﹣5＜

，得：x＜3.5，

故不等式组的解集为：﹣2≤x＜3.5， 所以其正整数解有：1、2、3，

22．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B． （1）求∠B的度数．

（2）如果AC=3cm，求AB的长度．

（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；

（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；

（3）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB． 【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE=∠EAB， ∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°， ∴∠B=30°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm， ∴AB=2AC=6cm；

（3）猜想：ED⊥AB．理由如下： ∵∠EAB=∠B， ∴EB=EA，

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∵ED平分∠AEB， ∴ED⊥AB．

23．阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形 由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子x2+3x+2分解因式．

22

分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x+3x+2=x+（1+2）x+1×2．

2

解：x+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题 （1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9） 启发应用

2

（2）利用因式分解法解方程：x﹣6x+8=0；

2

（3）填空：若x+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 7或﹣7或2或﹣2 ．

【考点】因式分解-十字相乘法等． 【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）找出所求满足题意p的值即可． 【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）； （2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x=2或x=4；

（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2， 则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2． 故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．

24．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元． （1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？

（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，依据“买2个甲内存卡和1个乙内存卡共用了90元，买了3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元”列出方程组并解答； （2）设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，根据关系式列出一元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．

（3）设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，根据“甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元”列出方程组，并解答． 【解答】解：（1）设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，则

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，

解得

．

答：甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元；

（2）设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，则

，

解得5≤a≤6，

根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．

方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元； 方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元； ∵350＞320

∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．

答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．

（3）设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，则 10c+15d=100． 整理，得 2c+3d=20．

∵c、d都是正整数， ∴当c=10时，d=0； 当c=7时，d=2； 当c=4时，d=4； 当c=1时，d=6．

综上所述，共有4种销售方案：

方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个； 方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个； 方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个； 方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．

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