第二章部分题目答案
2?2-21．求正弦信号x(t)?Asin(t)的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时T/4T后，其各频谱如何变化？
2?2??解： (1)由于x(t)?Asin(t)?Acos(t?)，符合三角函数展开形式，则 TT22?处：An?1，所以，单边频谱图为图1的（a）。 T2?2?jt2?jA?jTtT2?t)?(e?e) 对x(t)?Asin(t)进行复指数展开：由于x(t)?Asin(TT22?jAAA?所以，在?处：Cn?，CnR?0，CnI?，|Cn|?，?n?
2T2222?jAAA?在处：Cn??，CnR?0，CnI??，|Cn|?，?n??
T2222在
所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。
AnACnRA2CnI2?T|Cn|02?T?2??T02?T??T2?0A?2??2?TA20A22?T??2?2?T0?n2?T??2?
(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图
图1 正弦信号x(t)的频谱 （2）当延迟T/4后，x(t)变为x(t)?Asin?T??2?(t?)?，由于
4??TT?T???2??2??2??x(t)?Asin?(t?)??Acos?(t?)???Acos?t???，符合三角函数
4?42??T?T?T?展开形式，则
2?处：An?1，所以，单边频谱图为图2的（a）。 TT?2?T2??2?对x(t)?Asin?(t?)??Asin(t?)??Acos(t)进行复指数展开，
4?T2T?T在
jt2??A?jTtTt)?(e?e) 由于x(t)??Acos(T22?AAA所以，在?处：Cn??，CnR??，CnI?0，|Cn|?，?n??
T2222?2? 1
在
2?AAA处：Cn??，CnR??，CnI?0，|Cn|?，?n?? T222AnCnR?2?T2?T所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。
ACnI|Cn|A2002?T?A?2A202?T?A?2???2?T0?n2?T02?T??2?T?
?2?T?
(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图
图2正弦信号x(t)延迟后的频谱
2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为
4A?11?f(t)?0?cos?0t?cos3?0t?cos5?0t???
??35?求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。
解：均值a0=0；该方波各谐波的频率分别为?0、3?0、5?0…；对应的幅值分别为
4A0?、
4A04A4A、0…，即(?1)n?3?5?n?12,n?1,3,5,...，该方波的单边幅频谱图如图3所示。
An4A?4A3?4A5?4A7?0?03?05?07?0...9?0...?
4A9?图3 方波的单边幅频谱
2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将f(t)看成矩形窗函数与?(t?2)、?(t?2)脉冲函数的卷积)。
图2.55 习题2-23
解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：
??1t?1 w(t)??0t?1??即，f(t)?w(t)*[?(t?2)??(t?2)]
2
j2?f?2?(t?2)?e而w(t)?W(jf)?2sinC(2?f)，根据时移特性：；?(t?2)?e?j2?f?2
则f(t)的频谱函数为：
f(t)?w(t)*[?(t?2)??(t?2)]?W(jf)?[F(?(t?2)?F(?(t?2)]?2sinC(2?f)?(ej2?f?2?e?j2?f?2)?2sinC(2?f)?(ej4?f?e?j4?f)设?0??m[?m为f(t)中最高频率分量的角频率]，试出x(t)和x(t)的双边幅频谱X(j?)的示意图形，当?0??m错误！未找到引用源。时，X(j?)的图形会出现什么样的情况？
f(t)F(j?)
2-24．一时间函数f(t)及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数x(t)?f(t)cos?0t
0t
??m0?m?
(a) f(t)的时域波形 (b) f(t)的频谱
图2.56 f(t)的时域波形及其频谱
解：令x1(t)?cos?0t，则x(t)?f(t)x1(t)，即为f(t)和cos?0t的乘积，所以其图形如图4(a)所示。
若x1(t)?X1(j?)，f(t)?F(j?)，则x(t)?f(t)x1(t)?X(j?)?X1(j?)*F(j?)
1由于X1(j?)?[?(???0)??(???0)]，其双边幅频图如图4(b)所示。
2根据x1(t)x2(t)?X1(j?)*X2(j?)，则
1X(j?)?X1(j?)*F(j?)?[?(???0)??(???0)]*F(j?)
2根据x(j?)*?(j?)?x(j?)，x(?)*?(???0)?x(???0)和x(?)*?(???0)?x(???0)则
11X(j?)?X1(j?)*F(j?)?[?(???0)??(???0)]*F(j?)?[F(???0)?F(???0)]
2211|X(j?)|?|X1(j?)|*F(j?)?[|?(???0)|?|?(???0)|]*F(j?)?[|F(???0)|?|F(???0)|]22 111F(???0)表示把F(?)的图形搬移到?0处，图形的最大幅值为F(?)；
222111F(???0)表示把F(?)的图形搬移到??0处，图形的最大幅值为F(?)；
222111|F(???0)|表示把|F(?)|的图形搬移到?0处，图形的最大幅值为|F(?)|；
222111|F(???0)|表示把|F(?)|的图形搬移到??0处，图形的最大幅值为|F(?)|；
222由于x1(t)的频谱图用双边幅频图表示，所以x(t)的双边幅频图|X(j?)|如图4(c)所示，当
?0??m时，x(t)的双边幅频图|X(j?)|如图4(d)所示。
3
x(t)0t
12??00|X1(j?)|12?0?
(a) x(t)的时域波形 (b) x1(t)?cos?0t的频谱
|X(j?)||F(j?)|2??0?(???0m|X(j?)||F(j?)|2|F(j?)|2|F(j?)|20)0?0??m?0?
??0?0?
(c) x(t)的频谱 (d)
?0??m时，x(t)的频谱
图4 习题2-23的示意图
2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为
4AT?A?t??t?0??T2x(t)??
4AT?A?t0?t???T2 求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。
x(t)A......T0?T00?At
图2.57 周期性三角波
解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：
8A11x(t)?2(cos?0t?2cos3?0t?2cos5?0t??)
?35其单边频谱图如图5所示。
An8A
?2?n8A32?28A52?28A72?2......?00?03?05?07?0?03?05?07?0......?
(a) 幅频图 (b) 相频图
图5 周期性三角波的频谱
补充：画出、sin?0t复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双cos?0t边相频谱，并验
4
证是否满足信号的时移定理。
1?j?0te?ej?0t 2111在??0处：Cn?，CnR?，CnI?0，|Cn|?，?n?0
222111在?0处：Cn?，CnR?，CnI?0，|Cn|?，?n?0
222解：cos?0t???12CnR012CnI???0012|Cn|12?n??0?0?0???00?0???00?0? (a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频
图
图6
j?j?0te?ej?0t 2j11?在??0处：Cn?，CnR?0，CnI?，|Cn|?，?n?
2222j11?在?0处：Cn??，CnR?0，CnI??，|Cn|?，?n??
2222sin?0t???CnR12CnI?00??00?0???01?2?12|Cn|?12?n?00?2??0??00?0??2?
(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频
图
图7
?????sin?0t?cos(?0t?)?cos??0(t?)?，则t0?
22?2?0??0在??0处：相移：?(??0)t0??(??0)在?0处：相移：??0t0???0??? 2?02??? 2?02???和?，因此满
22有图6和7比较可知，sin?0t比cos?0t在??0、?0处的相移为足信号的时移定理。
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