直线和圆锥曲线常考题型(2)

ì???x222+y2=1\\??í94???(lx)2(ly+3-3l)2 ?2??9+24=1消去x2，

可得(ly-3l)2-l2y22+32=1-l24

即y13l-52=

6l 又Q－2￡y2￡2，

\\－2￡13l-56l￡2 解之得：

15???5 则实数l的取值范围是

??1?5,5???。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：

y?kx?3,k?0，

由??y?kx?3?4x2?9y2?36消y整理后，得 (4?9k2)x2?54kx?45?0

?P、Q是曲线M上的两点

???(54k)2?4?45(4?9k2)＝144k2?80?0即9k2?5 ①

由韦达定理得：

x54k1?x4?9k2,x452??1x2?4?9k2

(x2?1?x2)xx?x1?x2?2

12x2x1?542k2(1??)245(4?9k2)??

即

36?9k25(1??)2??49k2?1?49k2 ②

由①得0?119k2?5，代入②，整理得 1?36?5(1??)2?95， 解之得15???5

6

当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或??1。 5总之实数l的取值范围是题型六：面积问题

?1?,5?。 ?5??x2y26例题6、已知椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3。

3ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

32，求△AOB面积的最大值。

?c6，??解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3

?a?3，?x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1。

3（Ⅱ）设

A(x1，y1)，B(x2，y2)。

（1）当

AB⊥x轴时，AB?3。

（2）当设直线

AB与x轴不垂直时，

AB的方程为y?kx?m。

m1?k23322，得m?(k?1)。 24由已知

?把

y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，

3(m2?1)?6km，x1x2?。 ?x1?x2?23k2?13k?1?36k2m212(m2?1)??AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)??? 222(3k?1)3k?1??222212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 2222(3k?1)(3k?1)7

12k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4。

19k?6k2?12?3?629k?2?6k当且仅当9k2?1k2，即k??33时等号成立。当k?0时，AB?3，

综上所述

ABmax?2。

?当AB最大时，△AOB面积取最大值S133。 ??ABmax??222题型七：弦或弦长为定值问题

例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

?x2?2py（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x=2py联立得?消去

?y?kx?p.2

y得x2-2pkx-2p2=0.

由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是S?ABN＝

?S?BCN?S?ACN?1?2px1?x22

px1?x2?p(x1?x2)2?4x1x2p4p2k2?8p2?2p2k2?2.

＝

8

?当k?0时，（S?ABN）min?22p2.

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为O?,t与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则

O?H?PQ,O?点的坐标为（?O?P?＝

x1y1?p ,）22112AC?x1?(y1?p)2 2212y1?p2. 2y1?p1?2a?y1?p, 2222O?H?a?2?PH?O?P?O?H=

121(y1?p2)?(2a?y1?p)2 44p＝(a?)y1?a(p?a),

2

?PQ?(2PH)2

=42p??(a?)y?a(p?a). 2??2??令a?ppp?0，得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?222，

即抛物线的通径所在的直线. 解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB?1?k2x1?x2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?4p2k2?8p2＝2p

1?k2?k2?2.

又由点到直线的距离公式得d?2p1?k2.

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从而，S?ABN?112p?d?AB??2p1?k2?k2?2??2p2k2?2, 221?k2?当k?0时，（S?ABN）max?22p2.

（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为

(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0,将直线方程y=a代入得 x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0, p??则?＝x12?4(a?p)(a?y1)?4?(a?)?y1?a(p?a).2??设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有

pp??PQ?x3?x4?4?(a?)y1?a(p?a)??2(a?)y1?a(p?a).

22??令a?ppp?0,得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?222.

即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题

例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

PM?PN?6.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若

2PM·PN＝1?cos?MPN,求点P的坐标.

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴

b=a2?c2?5，

x2y2??1. 所以椭圆的方程为95 (Ⅱ)由

PM?PN?2,得

1?cosMPNPM?PNcosMPN?PM?PN?2. ①

因为cosMPN2?1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，MN?4,由余弦定理有

22

MN?PM?PN?2PM?PNcosMPN. ②

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