§1.3 函数的基本性质(2)

第2课时 函数的最大(小)值

课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．

1．函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (3)对于任意的x∈I，都有__________． 条件 (1)对于任意的x∈I，都有__________． (4)存在x0∈I，使得__________． (2)存在x0∈I，使得__________. 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 2.函数最值与单调性的联系 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．

一、选择题

1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 2．函数y＝x＋2x－1( )

1

A．有最小值，无最大值

21

B．有最大值，无最小值

21

C．有最小值，最大值2

2

D．无最大值，也无最小值 3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2]

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( ) A．f(－2)

1

6．函数f(x)＝的最大值是( )

1－x?1－x?

45A. B. 54

34C. D. 43题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题

2

7．函数y＝的值域是________．

|x|＋1

8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a

2

9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．

x

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.

1

(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；

2

(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．

11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)

B．有最大值3，无最小值

C．有最大值7－27，无最小值 D．无最大值，也无最小值

13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R. (1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

1．函数的最大(小)值 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解． (2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式． 拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下： 最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min. 2．函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有 1最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． x(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)． 3．二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

第2课时 函数的最大(小)值

知识梳理

1．(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M 2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b) 作业设计

1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)， 解得a≤－3.]

1

2．A [∵y＝x＋2x－1在定义域[，＋∞)上是增函数，

2

111

∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]

222

2

3．D [由y＝x－2x＋3＝(x－1)2＋2知， 当x＝1时，y的最小值为2，

当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.

由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]

1

4．D [依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋

21

c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增

2

区间，

所以f(1)

－4 ?x≥3???

5．C [y＝|x－3|－|x＋1|＝?－2x＋2 ?－1≤x<3?.

??4 ?x<－1?因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，

所以－4

14

6．D [f(x)＝≤.] 133?x－?2＋

24

7．(0,2]

解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值， 所以当x＝0时，y的最大值为2，即0

解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9， 得b＝0(b＝6不合题意，舍去)

－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)． 9．2

2

解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，

x2

故ymax＝－＝2.

－1

1

10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，

2

15

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，

24

所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，

1

即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.

2

(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2， m＋2m＋2∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.

22

故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1， ∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x， ???2a＝2?a＝1∴?，∴?，∴f(x)＝x2－x＋1. ???a＋b＝0?b＝－1

(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立， 即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．

35

令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，

24

3

其对称轴为x＝，

2

∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.

12．C [画图得到F(x)的图象： 射线AC、抛物线?AB及射线BD三段，

??y＝2x＋3，

联立方程组? 2

?y＝x－2x，?

得xA＝2－7，

代入得F(x)的最大值为7－27， 由图可得F(x)无最小值，从而选C.]

2??x＋x＋1， x<0

13．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－|x|＋1＝?2.

?x－x＋1， x≥0?

2

作图(如右所示)．

(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数， g(a)＝f(2)＝－3.

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