2017年湖南省长沙四校高考模拟卷（二）
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则
A.
B.
C.
D.
2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为
A.
B.
C. 或 或
D. 或
， ，一定可以与 3. 已知向量 是空间的一个基底， ， 向量构成空间另一个基底的是
A.
B.
C.
D. 无法确定
4. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求 次多项式 当 （ 是任意实数）时的值的过程，若输入 ， ， ， ， ， ， ，则输出的 的值为
A.
B. C. D.
5. 若直线 （ ）与圆 （ ）恒有两个交点，则 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
6. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于
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A.
B.
C. D.
7. 已知函数 ，如图是函数 的部分图象，为了得到 的图象，只需将 的图象
A. 向左平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度
B. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
则 的最大值是 8. 已知实数 ， 满足约束条件
A.
B.
C. D.
9. 已知 ， ， 表示空间中三条不同的直线， ， ， 表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为
① 若 ， ， ， ，则 ； ② 若 ， ，且 ，则 ；
③ 若 ， ， ， ， ，则 ；
④ 若 ， 为异面直线， ， ， ， ， ， ，则 与 相交，且交线平行于 ．
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
10. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ，且 ，
则 面积的最大值为
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ，当 时，关于 的方程 实数解的个数为
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A. B. C. D.
12. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若
， ，则下列四个命题中真命题的序号为
① ；② ；③ ；④ ． A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ①④
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若
是 上的奇函数，则实数 的值为 ．
14. 已知 ，则
．
15. 若在区间 内随机取一个数 ，在区间 内随机取一个数 ，则使得方程
有两个不相等的实数根的概率为 ． 16. 已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，倾斜角为 的直线 过 且与双曲
线交于 ， 两点，且 是等边三角形，则该双曲线的顶点到渐近线的距离为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知数列 是等比数列，其前 项和是 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，求数列 的前 项和 ．
18. 某中学高三年级共有学生 人，将某次模拟考试的数学成绩（满分 分，所有成绩均不低
于 分）按 ， ， ， 分成 组，并制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求 的值．
（2）用分层抽样的方法从成绩在 内的试卷中抽取 份，求这 份试卷中成绩在
内的试卷数；
（3）从（ ）中抽出的 份试卷中任取 份，求成绩在 和 内的试卷数各有 份
的概率．
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，底面 是边长为 19. 如图，在四棱锥 中， 是棱 上一点，且
的正方形， 为正三角形，平面 与棱 交于点 ，平面 与平面 交于直线 ，且 平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积．
20. 已知椭圆 的离心率 ，椭圆 上的动点到焦点的距离的最小值为 ，
抛物线 的顶点为坐标原点 ，其焦点恰好是椭圆 的右焦点 ． （1）求椭圆 和抛物线 的标准方程；
（2）过点 作两条斜率都存在的直线 ， ， 交抛物线 于点 ， ， 交抛物线 于点 ，
，若 是 与 的等比中项，求
的最小值．
21. 已知函数 （ 且 ），且函数 的图象在 处的切线方程为
， （1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若函数
轴上方，求实数 的取值范围．
（ 为参数， ），以22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为
．
在区间 上的图象恒在
坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最小值． 23. 已知函数 ．
（1）若不等式 的解集是空集，求实数 的取值范围；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
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答案
第一部分 1. C
【解析】解法一：
．
解法二： 2. D 3. C
．
【解析】由题意知 ，且 ，由 ，知 4. C 【解析】执行程序框图，输入 ， ， ， ， ， ，
，则实数 的值为 或 ．
，经过第 次循环得 ， ；经过第 次循环得 ， ；经过第 次循环得 ， ；经过第 次循环得 ， ；经过第 次循环得 ， ，退出循环．故输出的 的值为 ． 5. A
【解析】通解：由题意知圆心 到直线 的距离
恒成立，其中 ．
，当且仅当 时取等号，因而 ．
优解：直线 过定点 ，由直线 （ ）与圆恒有两个交点，得 在圆内，即 ，因而 ． 6. A
【解析】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥 ，其外接球
就是正方体的外接球．
设外接球的半径为 ，因为正方体的棱长为 ，其体对角线为外接球的直径，即 ，所以外接球的体积 ．
7. B
【解析】设函数 的最小正周期为 ，由图象知 ，
，
所以 ． 因为 ，
所以 ， ， 又 ，
所以 ， ．
将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的解析式为 ． 8. D
【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
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