实验教材整合 - 图文(2)

出评定比用误差来描述更合理。

二、测量结果的表示和不确定度 1、测量结果的不确定度

在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。即

x?x??（单位） （6）

式中x为待测量；x是测量的近似真实值,?是总的不确定度，三者的数量级、单位要相同。简单起见，不确定度一般保留一位有效数字，多余的位数一律进位。x的末尾数与不确定度的所在位数对齐。

这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、不确定度和单位，缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。

2、相对不确定度 相对不确定度定义为 E??x有时候还需要将测量结果与公认值或理论值进行比较（百分偏差）：

?100% （8）

E0?x?x理x理?100% （9）

x理可以是公认值，或高一级精密仪器的测量值。

相对不确定度一般取2位有效数字。 3、测量结果

在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值

x作为近似真实值；

若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测量值就被认为是测量的近似真实值。

如果要求对被测量值进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的不确定度分量）从算术平均值x或一次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。例如，用螺旋测微器来测量长度时，从被测量结果中减去螺旋测微器的零点读数。 4、测量结果的表示

表示测量最后结果时，一般要求绝对和相对的不确定度同时表示出，才能较全面的结果表示。即

x?x??（单位）

E??x?100% 或 E0?x?x理x理?100%

三、不确定度的两类分量

在不确定度的合成问题中，主要是从系统误差和随机误差等方面进行综合考虑的，将各种来源的误差按计算方法分为两类：统计不确定度（A类）和非统计不确定度（B类）。总的不确定度?是由两类分量（A类和B类）求“方和根”计算而得。为使问题简化，此处只讨论简单情况下（即A类、B类分量保持各自独立变化，互不相关）的不确定度的合成。

A类不确定度（统计不确定度）是指可以采用统计方法（即具有随机误差性质）计算的不确定度，即是前面所说的偶然误差，可以用（5）式或（2）式计算，用?A表示。

B类不确定度（非统计不确定度）是指用非统计方法求出或评定的不确定度，为系统误差。如实验室中的测量仪器不准确，量具磨损老化等等，用?B表示。

本书对B类不确定度的估计作简化处理，只考虑仪器不确定度。所以因仪器不准确对应的B类不确定

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度为 ?B??I

ΔI为仪器不确定度。一般的仪器说明书中都以某种方式注明仪器不确定度，由制造厂或计量检定部门给定。物理实验教学中，可由实验室提供。

仪器不确定度一般可分两种情况处理：

已知仪器准确度时，这时以其准确度作为不确定度大小。如一个量程150mA，准确度0.2级的电流表，测某一次电流，读数为131.2mA。可估算出最大绝对不确定度为=量程3级别％＝15030.2％=0.3mA，因而该次测量的结果可写成I＝131.2±0.3mA。其相对不确定度为EI＝0.3/131.2=0.23%，大于0.2％。因此，测量值越接近量程，相对不确定度越小。

对于没有标明准确度的仪器，因在制造仪器时，其最小的分度数值是受仪器准确度约束的。所以，对连续读数的仪器，最大读数不确定度可取仪器最小刻度值的1/10、1/5、1/2或最小刻度，具体可根据所用仪器的精密度、仪器灵敏度、测试者感觉器官的分辨能力，以及观测时的环境条件等因素来考虑。而无法进行估计的非连续读数的仪器，如数字式仪表，可简单取其最末位数的1作为仪器不确定度。（若末位或末两位不稳定，可记录稳定的数值加一位不稳定的，或根据其变化规律，四舍五入到稳定的那位。仪器不确定度则取稳定位的1，或根据不稳定位变化的程度来取。）

合成不确定度为A类不确定度和B类不确定度的合成

22???A??B （7）

在计算总的不确定度中求“方和根”时，若某一平方值小于另一平方值的1/9，则这一项就可以略去

不计。这一结论叫做微小误差准则。在进行数据处理时，利用微小误差准则可减少不必要的计算。

???I 。对于单次测量，一般是以最大不确定度进行估计。可用仪器不确定度作为合成不确定度，即：

四、直接测量的不确定度

直接测量的不确定度的合成，用（5）式或（2）式计算A类不确定度。对B类不确定度，主要讨论仪

器的不确定度。

例1．用感量为0.1g的物理天平称量某物体的质量，其读数值为35.41g ,求物体质量的测量结果。（感量：在仪器上有标出，一般为最小分度值）

[解]：用物理天平称物体的质量，重复测量读数值往往相同，故一般只须进行单次测量即可。单次测量的读数即为近似真实值，m＝35.41g。

对物理天平通常取感量的1/2，作为仪器不确定度，即

?B?ΔI＝0.05（g） 测量结果为

m＝35.41±0.05（g）

因为是单次测量, 总的不确定度??22?A??B中?A无法估算, 所以?＝?B。但是这个结论并不表

明单次测量的?就小，因为n＝1时,Sx是发散的。

例2．用螺旋测微器测量小钢球的直径，五次的测量值分别为

d（mm） 11.922 11.923 11.924 11.921 11.920 螺旋测微器的最小分度数值为0.01mm 试写出测量结果的标准式。

[解]：（1）求直径 d 的算术平均值

5 d?1?di?1?11.922?11.923?11.924?11.921?11.920?

n15＝11.922（mm）

（2）计算B类不确定度

螺旋测微器的仪器不确定度（取最小刻度值的1/2）为?I＝0.005（mm）

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?B??I＝0.005（mm） （3）计算A类不确定度 ?A?t??d15i?d?2n(n?1)

?2.78??11.922?11.922?2??11.923?11.922?2??=0.002(mm)

（55?1）2222（4）合成不确定度 ???d=0.006(mm) ??B?0.002?0.005（5）相对不确定度：E??0.006?100%＝?100％＝0.050％

11.922x（6）测量结果： d?d???11.922?0.006?mm?

E＝0.050%

测量不确定度表达涉及到深广的知识领域和误差理论问题。因此，在保证科学性的前提下，在教学中尽量把方法简化，为初学者易于接受。以后在工作需要时，可以参考有关文献继续深入学习。

有效数字及其运算法则

一、有效数字的概念 1、有效数字的定义

若用最小分度值为1mm的米尺测量某物体的长度，读数为56.3mm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是从米尺最小分度值上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数（或称可疑数字）。显然有一位可疑数字，使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位可疑数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数。注意：有效数字的位数不要与小数点后的位数混淆。如上述的56.3mm称为3位有效数字，但小数后只有1位。

有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字，即有效数字中间与末尾的0，均应算作有效位数。如0.0135 m和1.05cm及13.0mm都是三位有效数字。

从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。

2、结果的表示

由于最后一位可疑位是不确定的，即是不确定度所在位。所以，若把测量结果写成542.817±0.5（mm） 是错误的，由不确定度0.5（mm）可以得知，数据的小数0.8 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：542.8±0.5（mm）。即，结果的尾数应与不确定度的所在位对齐，后面的位数可以简单地四舍五入。

二、直接测量的有效数字记录

物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要记录。仪器不确定度在哪一位发生，测量数据的可疑位就记录到哪一位。对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。

例如，测出物体长为52.4 mm 与52.40 mm 是不同的两个测量值，也是属于不同仪器测量的两个值，从这两个值可以看出测量前者的仪器精度低，测量后者的仪器精度高出一个数量级。

－

在记录直接测量的有效数字时，常用科学表达式。如0.0451 m 或45.1 mm，可表示为4.513102m。

三、有效数字的运算法则

8

测量结果的有效数字，只能允许保留一位可疑数字。根据这一原则，为了简化有效数字的运算，约定下列规则： 1．加法或减法运算

若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的可疑数字的位置与参与运算各个量中的可疑数字的位置最高者相同。因此，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约（四舍五入），将应保留的可疑数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位可疑数字进行取舍。 2．乘法和除法运算

有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效数字的位数，一般与参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同，或多一位。实际运算过程，可比参与运算的位数最少者多取一位，最后由结果的不确定度决定。

如：7.65+8.268=15.92 3.84134.42=9.30 3.84138.42=32.34 3.8 4 1 3 2. 4 2 7 6 8 2 15.9181 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2 式中有下划线的表示可疑数字。 3．乘方和开方运算

7.65?8.268

3.8 4 1 3 8. 4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 3 0 7 2 8 3 2.3 4 0 2 2 (7.325)2?53.66

32.8?5.73

乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。 4、三角函数：结果有效数字由度数的有效位数决定

例：sin30o07′(4位)＝ sin30.12o=0.5018 (注意：不写成sin30o7′)

5、指数：结果的有效数字，与指数小数点后的位数相同。例：10＝5.6310； 10＝1.196、对数：结果的有效数字，其尾数（小数点后的位数）与真数的位数相同，或多取一位。

例：ln1.550=0.4383

7、对任意函数： 可将数值末位改变1，运算后，看结果是哪位变化了，就保留到开始变化那位。

例：ln1.550=0.43825，末位改变1：ln1.551=0.43890，所以，可取小数后4位：0.4383。 8、自然数 1,2,3,4,?不是测量而得，因此，可以视为无穷多位有效数字的位数，书写也不必写出后面的0，如D＝2R，D的位数仅由R的位数决定。 9、无理常数π,2,3,?的位数也可以看成很多位有效数字。 例如L＝2πR，若测量值R?2.35?10?1(m)时，π应比参加运算的最少位数多取一位，取为3.142。即L?2?3.142?2.35?10?1.48?10(m)。用计算器计算，可直接输入π。

上述规定和方法，是为了简化有效数字的运算，及作为不需算不确定度时，有效位数取值的参考，但并非完全准确。在实际的不确定度估算时，作为中间过程，可比上述规定取多1～2位，最后由结果的不确定度决定有效位数。

?2?15.7550.075

间接测量结果的不确定度

间接测量的近似真实值和不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，既然直接测量存在不确定度，那么间接测量也必有不确定度，这就是不确定度的传递。由直接测量值及其不确定度来估算间接测量值的不确定度之间的关系式称为不确定度的传递公式。设间接测量的函数式为

N＝F（x , y , z , ?）

N为间接测量的量，它有K个直接测量的物理量x , y , z , ?，各直接观测量的测量结果分别为

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x?x??x，y?y??y，z?z??z，??。

（1）若将各个直接测量量的近似真实值x代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。 N?Fx,y,z,?

（2）求间接测量的不确定度，由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式N＝F（x , y , z , ?）求全微分，即得

dN??Fdx??Fdy??Fdz??

?x?y?z式中dN , dx , dy , dz , ? 均为微小量，dN 的变化由各自变量的变化决定,?F,?F,?F,?为函数对自变量的

?x?y?z偏导数, 将上面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号?，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度

??(?F?)2?(?F?)2?(?F?)2?? （10）

Nxyz?x?y?z??这里 x , y , z , ? 各量应相互独立。

当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）时，为了使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。即

dN?lnF?lnF?lnF?dx?dy?dz??N?x?y?z

同样改写微分符号为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度EN，即

???lnF???lnF???lnF EN?????x???????z??? （11） y???x?y?zN??????222?N已知EN、N，由（11）式可以求出不确定度

?N?N?EN （12） 今后在计算间接测量的不确定度时，对函数表达式仅为“和差”形式，可以直接利用（10）式，求出间接测量的不确定度?N，若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式，可直接采用（11）式，先求出相对不确定度，再求出不确定度?N。附表为常用函数的不确定度传递公式，可直接应用。(注意

各变量是相互独立的)

附表：常用函数的不确定度传递公式 函数关系式 N?ax?by N?axy 不确定度传递公式 ?N?EN?EN?EN?(a?x)2?(b?y)2 ?NN?(?(?xx)2?()2?(?yy)2 )2 N?aa例1．已知电阻R1＝50.2±0.5（Ω）, R2＝149.8±0.5（Ω）, 求它们串联的电阻R和不确定度?R。

[解]：串联电阻的阻值为

R＝R1＋R2＝50.2＋149.8＝200.0（Ω） 由附表第一行公式求得不确定度为

2 ?R??12??2?0.52?0.52?0.7（Ω）

x y?NN?xx?yyyb N?kxcz(a?xx)2?(b?yy)2?(c?zz)2 10

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