介值定理及其应用

邯郸学院本科毕业论文 题 目 学 生 指导教师年 级 专 业 二级学院 （系、部）

介值定理及其应用 姚 梅 王淑云 教授 2008级本科 数学与应用数学 数学系 邯郸学院数学系 2012年6月

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

毕业论文作者（签名）：

年 月 日

介值定理及其应用

摘 要

介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用．

关键词：介值定理 连续函数 根的存在定理 应用

I

Intermediate value theorem and its application

Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun

ABSTRACT

Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In\mathematical analysis\textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem.

KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root

Application

II

目 录

摘 要 ..............................................................I 外文页 .............................................................II 前 言 ..............................................................1 1 介值定理及其证明方法 ..............................................2

1.1 介值定理的内容 ..............................................2 1.2 介值定理的四种证明方法 ......................................2

1.2.1 应用确界原理 ...........................................2 1.2.2 应用区间套定理 .........................................3 1.2.3 应用致密性定理证明 .....................................4 1.2.4 应用柯西收敛准则证明 ...................................6

2 介值定理的应用 ....................................................7

2.1 利用介值定理判断方程根的存在性 ..............................7 2.2 介值定理在解不等式中的应用 ..................................9 2.3 介值定理在证明等式中的应用 .................................11 2.4 介值定理在实际问题中的应用 .................................13 3 介值定理的推广 ...................................................15

3.1 一元函数介值定理的推广 .....................................15

3.1.1 推广介值定理的内容 ....................................15 3.1.2 推广的介值定理的一个应用 ..............................16 3.2 二元函数的介值定理 ........................................19

3.2.1 二元函数介值性定理的内容 ..............................19 3.2.2 二元函数介值定理的应用 ................................20

参考文献 ...........................................................22 致 谢 .............................................................22

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