第1讲2.1点、直线、平面之间的位置关系（教师版）

恒升教育高二数学课外提升大讲堂（一）教师版

直线、平面之间的位置关系

一、知识点梳理

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

2.直线与直线的位置关系

?平行

?共面直线??

?相交(1)位置关系的分类??

?异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角. π0，?. ②范围：??2?3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理(公理4)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

6.定理

Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.

二、基础巩固演练

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.

- 1 -

( √ )

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A. (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.

( × ) ( × ) ( × ) ( √ )

2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为________. 答案 相交或异面

解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为________.

①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 答案 2

解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确.

4.已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是________. ①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB； ③l?α，A∈l?A?α；④A∈α，A∈l?l∩α＝A. 答案 ③④

15.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；

2111

②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD).

222其中正确的是________. 答案 ④

解析 如图，取BC的中点O，连结MO、NO，

111

则OM＝AC，ON＝BD，在△MON中，MN

222

题型一 平面基本性质的应用

例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1 的中点.求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

- 2 -

(2)CE、D1F、DA三线共点.

思维启迪 (1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面； (2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上. 证明 (1)连结EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF

同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.

思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据.

(1)以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是________.

(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面. 答案 (1)1 (2)9

解析 (1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

(2)∵a、b是异面直线，∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个. 题型二 判断空间两直线的位置关系

例2 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.

思维启迪 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共 面；第(2)问可采用反证法.

解 (1)不是异面直线.理由如下：连结MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，

- 3 -

∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下：

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线. 思维升华 (1)证明直线异面通常用反证法；

(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等； (3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，

CD1的中点，则下列判断错误的是________.

①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1 平行.

(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

答案 (1)④ (2)②④

解析 (1)连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故④不正确.

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面. 所以图②、④中GH与MN异面. 题型三 求两条异面直线所成的角

例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、 F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 思维启迪 取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角. 11

解 取AC的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，GF綊CD，

22由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为

- 4 -

AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°.

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.

思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.

直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1

与AC1所成的角等于________.

答案 60° 解析 如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角.

易错题练习

典例：(5分)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条.

易错分析 忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.

解析 如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角 都相等，所成角的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连结 BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，

∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条. 答案 4

温馨提醒 求空间直线所成的角时，常犯以下错误： (1)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角； (2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手.

方法与技巧

1.主要题型的解题方法

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