2y2x故所求的椭圆的标准方程为??1． ?????????????4分 3222x12y12x2y2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则??1①，??1②．
3232②－①，得 所以，k1=
(x2?x1)x(2?x1)y(?2yy(y)1)?2??10．
32y2?y12(x2?x1)4x????P??2． ??????????????9分 x2?x13(y2?y1)6yP3(3)依题设，k1≠k2．
设M(xM,yM)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，
2代入椭圆方程并化简得 (2?k312x)2?6k?3k?6?． 01k2x2于是，xM?同理，xN??3k1k22k2y?，． ???????????????11分 M2?3k122?3k12?3k1k22k1y?，． N222?3k22?3k2当k1k2≠0时， 直
线
MN
的
斜
率
yM?yN4?6(k22?k2k1?k12)10?6k2k1k==．??????????????13分 ??9k2k1(k2?k1)?9k2k1xM?xN直线MN的方程为y?即 y?2k210?6k2k1?3k1k2?(x?)， ?9k2k12?3k122?3k1210?6k2k110?6kk2k213kk12x?(??)2， 22?9k2k1?9k2k12?3k12?3k1亦即 y?10?6k2k1x?2．
?9k2k13此时直线过定点(0,?2)． ???????????????????15分
3当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0,?2)．
3综上，直线MN恒过定点，且坐标为(0,?2)． ?????????????16分
320.（本题满分16分）
已知函数f(x)?x?ax(x?0且x≠1)．
lnx（1）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若?x1,x2?[e,e2]，使f(x1)≤f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围．
1?a?0在(1,??)上恒成解：（1）因f(x)在(1,??)上为减函数，故f?(x)?lnx?2(lnx)
6
立． ??????2分
所以当x?(1,??)时，f?(x)max?0． 1?a??1又f?(x)?lnx?2lnx(lnx)??2?1?a??1?1lnxlnx2??a， ??142故当1?1，即x?e2时，f?(x)max?1?a．
4lnx2所以1?a?0,于是a≥1，故a的最小值为1． ????????????6分
444（2）命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)?f??x2??a成立”等价于
“当x?[e,e2]时，有f(x)min?f??x?max?a”． ?????????????7分 由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)max?1?a，?f??x?max?a?1．
44问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f(x)min?1”． ?????????????8分
410当a?1时，由（1），f(x)在[e,e2]上为减函数，
42e则f(x)min=f(e)??ae2?1，故a?1?12． ??????????10分 2424e22当a?1时，由于f?(x)??1?14lnx20??a在[e,e]上为增函数， ??1422故f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)]，即[?a,1?a]．
4(i)若?a?0，即a?0，f?(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min=f(e)?e?ae?e>1，不合． ????????????12分
4(ii)若?a?0，即0?a?1，由f?(x)的单调性和值域知，
4?唯一x0?(e,e2)，使f?(x0)?0，且满足：
当x?(e,x0)时，f?(x)?0，f(x)为减函数；当x?(x0,e2)时，f?(x)?0，f(x)为增函数；
所以，f(x)min=f(x0)?x0?ax0?1，x0?(e,e2)． lnx04所以，a?1?1?12?1?1?1?1，与0?a?1矛盾，不合． ???15分
4lnx04x0lne4e244综上，得a?1?12． ????????????????16分
24e
[来源:Z.xx.k.Com]
7
南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题
参考答案与评分标准
（考试时间：30分钟 满分：40分）
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，
共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是BC的中点．求证：
（1）AB?AC?AE?AD； （2）?FAE??FAD．
证明：（1）连BE，则?E??C，又?ABE??ADC?Rt?，
所以△ABE∽△ADC，所以AB?AE．
ADACB E F
D (第21A题)
A O C ∴AB?AC?AE?AD． ???????????????????????5分 （2）连OF，∵F是BC的中点，∴?BAF??CAF． 由
(1)
，
得
?BA?，?∴
?FAE??FAD． ???????????????????10分
B．选修4－2：矩阵与变换
?10?已知曲线C: y2?2x，在矩阵M???对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵02???0?1?N???对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程． 10??解：设A=NM，则
?0?1??10??0?2?A????02???10?， ?????????????????????3分 10??????设P?x', y'?是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P?x, y?， 则
?x??0???x2???y'??y???10??y'???x'?????????8
， 即
?x??2y',??y?x',∴
?x'?y,? ???????????7分 ?1y'??x.??2又点
P?' x,?曲线y在'C: y2?2x上，∴
(?1x)2?2y2，即
y?1x2．????????????10分
8
C．选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐
??x??3t,标方程为?2cos2??3?2sin2??3，直线l的参数方程为?(t为参数，t∈R)．试
y?1?t??在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
x2解：曲线C的普通方程是?y2?1． ????????
3?????????????????2分
直
线
l
的
普
通
方
程
是
x?3y? ????????????????????????4分 ?． 30设点M的直角坐标是(3cos?,sin?)，则点M到直线l的距离是
π32sin(??)?13cos??3sin??34． ???????????????22d??????7分
因为?2?2sin(??)?2，所以
4?πππ3π当sin(??)??1，即???2kπ?(k?Z)，即??2kπ?(k?Z)时，d取得最大值．
4424此时3cos???62,sin???． 22综上，点M的极坐标为(2,7π)时，该点到直线l的距离最6大． ?????????10分
62,?)，不扣分． 注 凡给出点M的直角坐标为(?22
D．选修4－5：不等式选讲
已知a?0,b?0,且2a?b?1，求S?2ab?4a2?b2的最大值． 解：a?0,b?0,2a?b?1,
9
∴
4a2?b2?(2a?b)2?4ab?1?4ab, ??????????????????????
??2分
且
1?2a?b?22ab，即
ab?24，
ab?1, ????????????????????5分
8∴S?2ab?4a2?b2?2ab?(1?4ab)?2ab?4ab?1?2?1,
2当
且
仅
当
a?1,b?142时，等号成
立． ?????????????????????????10分
22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使PQ?1QM，且PR?PM?0．
2（1）求动点M的轨迹C1；
（2）圆C2： x2?(y?1)2?1，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点
（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：AB?CD为定值．
O R Q x P M y （第22题）
1解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由PR?PM?0,PQ?QM及R(0，－
23)，得
???x1(x?x1)?(?3)y?0,?1???x1?x,2?11?y2?y?y2.??22化简，得
x2?4y． ???????????????????????4分
所以，动点M的轨迹
C1是顶点在原点，开口向上的抛物
线． ???????????????5分
法二：设M(x，y)．
1x由PQ?QM，得 P(?,0Q),22y(0．, )3x3x所以，PR?(,?3),PM?(,y)．
22 10
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