2017年电大高等数学基础期末考试复习试题及答案

高等数学（1）学习辅导(一)

第一章 函数

⒈理解函数的概念；掌握函数y?f(x)中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意x，有f(?x)?f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。 若对任意x，有f(?x)??f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型： ①常数函数：y?c

(?为实数) x③指数函数：y?a(a?0,a?1) ④对数函数：y?logax(a?0,a?1)

②幂函数：y?x⑤三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx ⑥反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx

⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数

?y?earctan(1?x)

2可以分解y?eu，u?v，v?arctanw，w?1?x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数

2函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。 例题选解 一、填空题

⒈设f()?x?1?x(x?0)，则f(x)? 。 解：设t?1x211，则x?，得 xt111?1?t2 f(t)??1?2?ttt1?1?x2故f(x)?。

x1?5?x的定义域是 。 ⒉函数f(x)?ln(x?2)解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求5?x?0，即x?5。

取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。

⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是 。

解：要使f(lnx)有意义，必须使0?lnx?1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。

x2?9⒋函数y?的定义域为 。

x?3?x?3?x?3或x??3x2?92解：要使y?有意义，必须满足x?9?0且x?3?0，即?成立，解不等式方程组，得出?，

x?3x?3x?3??

1

故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。

ax?a?x⒌设f(x)?，则函数的图形关于 对称。

2解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有

a?x?a?(?x)a?x?axax?a?xf(?x)????f(x)

222即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

二、单项选择题

⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。 A.f(x)?x2,g(x)?x； B.f(x)?lnx2,g(x)?2lnx；

x2?13,g(x)?x?1C.f(x)?lnx,g(x)?3lnx； D.f(x)?x?1

解：A中两函数的对应关系不同,

x2?x?x， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D都不是

正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。

⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)－f(?x)的图形关于（ ）对称。

A.y＝x； B.x轴； C.y轴； D.坐标原点 解：设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有

F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)??(f(x)?f(?x))??F(x)

即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。

3．设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；

C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D三个选项都不一定满足。 设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有

F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)

即F(x)是偶函数，故选项C正确。

ax?1(a?0,a?1)（ ） ⒋函数f(x)?xxa?1 A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

a?x?1a?x(1?ax)ax?1 f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x)

a?1a(1?ax)a?1所以B正确。

11)?x2?2，则f(x)?（ ） xx22 A.x； B. x?2；

22C.(x?1)； D. x?1。

111222解：因为x?2?x?2?2?2?(x?)?2

xxx112所以f(x?)?(x?)?2

xx2则f(x)?x?2，故选项B正确。

⒌若函数f(x?

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第二章 极限与连续

⒈知道数列极限的“??N”定义；了解函数极限的描述性定义。

⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。 无穷小量的运算性质主要有：

①有限个无穷小量的代数和是无穷小量； ②有限个无穷小量的乘积是无穷小量； ③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。

⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。

求极限有几种典型的类型

a2?xk?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)1?lim?（1）lim kk2kx?0x?02axx(a?x?a)(x?x0)(x?x1)x2?ax?b（2）lim?lim?x0?x1

x?x0x?x0x?x0x?x0?0?a0xn?a1xn?1???an?1x?an?a0??（3）limx?x0bxm?bxm?1???b01m?1x?bm?b0??? ⒋熟练掌握两个重要极限： limn?mn?m n?msinx?1

x?0x11x lim(1?)?e （或lim(1?x)x?e）

x??x?0x 重要极限的一般形式：

sin?(x)?1

?(x)?0?(x)lim11f(x))?e （或lim(1?g(x))g(x)?e） lim(1?f(x)??g(x)?0f(x)利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如

sinxsinxlimsinx11x?0x1lim?lim?x??? x?0sin3xx?03sin3xsin3x33limx?03x3xxx2x222?2?(1?)lim[(1?)]?1?x?x?2xe2x??xxlim()?lim??lim???1?e3 ?x??x?1x??x??11?x?1e?1?1?(1?)xlim[(1?)]x????x?x?x?⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。

间断点的分类：

已知点x?x0是的间断点，

若f(x)在点x?x0的左、右极限都存在，则x?x0称为f(x)的第一类间断点； 若f(x)在点x?x0的左、右极限有一个不存在，则x?x0称为f(x)的第二类间断点。

⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭

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