高二数学人教A版选修4-5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解

人教A版高二数学选修4-5教案

4.2用数学归纳法证明不等式举例

一、教学目标

1．会用数学归纳法证明简单的不等式．

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件． 二、课时安排 1课时 三、教学重点

会用数学归纳法证明简单的不等式． 四、教学难点

会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件． 五、教学过程 （一）导入新课

复习数学归纳法的基本思想。 （二）讲授新课

教材整理 用数学归纳法证明不等式 1．贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n> . 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

（三）重难点精讲

题型一、数学归纳法证明不等式

111n

例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).

23n2

【精彩点拨】 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．

111252

【自主解答】 (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，

234122即n＝2时命题成立．

111k

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋.

2322当n＝k＋1时，

11111

S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋12322＋12

[来源学§科§网Z§X§X§K]

1

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k＋1k2kk1

>1＋＋k＝1＋＋＝1＋. 22＋2k222故当n＝k＋1时，命题也成立．

n

由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．

2

1

规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为k的后

211111

一项为k＋1，实际上应为k；二是k＋k＋…＋k＋1共有多少项之和，实际上 2k＋

22＋12＋12＋221到2k

＋1

是自然数递增，项数为2k1－(2k＋1)＋1＝2k.

＋

[再练一题]

1111

1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，

23n23n

f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．

22

13

【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为

22n

an＝，

2

n

∴猜想：f(2n－1)>. 2下面用数学归纳法证明：

1

①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．

2②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， k

即f(2k－1)>，

2当n＝k＋1时，f(2

k＋1

1111

kkkkk1＋＋

－1)＝f(2－1)＋2＋2＋1＋…＋2－2＋21－1>f(2－1)＋

k

∴当n＝k＋1时不等式也成立． 据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．例2 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．

[来源学科网Z.X.X.K]

2

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【精彩点拨】

验证n＝1，2，3时假设n＝k成立，n＝k＋1成立，

??

不等式成立推证n＝k＋1结论得证

[来源学+科+网Z+X+X+K]

【自主解答】 (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右； 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)． 当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2

＋

[来源学#科#网]

＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)， ∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0， ∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2， 所以2k1＋2>(k＋1)2.

＋

故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立． 规律总结：

1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．

[再练一题]

1?11

1＋??1＋?…?1＋2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式?2n－1＞?3??5???

2n＋1

均成立． 2

145

【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.

332∵左边＞右边，∴不等式成立；

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立， 1?112k＋1

1＋??1＋?…?1＋即?＞. ?3??5??2k－1?2则当n＝k＋1时，

3

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?1?1＋1??1＋1?…?1＋1??1??3??5??2k－1??2(k?1)?1?

??2k＋12k＋22k＋24k2＋8k＋4

＞·＝＝ 22k＋122k＋122k＋14k2＋8k＋32k＋32k＋1＞＝＝22k＋122k＋1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立. 题型二、不等式中的探索、猜想、证明

1111a例3 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a

n＋1n＋2n＋33n＋124的最大值，并证明你的结论．

【精彩点拨】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．

【自主解答】 当n＝1时，又a∈N＋，∴取a＝25.

11125

下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.

n＋1n＋23n＋124(1)n＝1时，已证．

11125

(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，

k＋1k＋23k＋124∴当n＝k＋1时，

111a26a＋＋>，则>，∴a<26.

24241＋11＋23×1＋124

2(k?1)?1.

2111111

＋＋…＋＋＋＋

3k＋13k＋23k＋33(k?1)?1(k?1)?1(k?1)?2111??11?＋＋…＋＋＋＝k＋1k＋23k＋1?＋?3k＋23k＋3?

11?－

3k＋4k＋1?

12?25?1>＋?， ???243k?23k?43(k?1)??∵

26k＋111

＋＝2>， 3k＋23k＋49k＋18k＋83(k?1)211

＋－>0， 3k＋23k＋43(k?1)∴

∴

11125

＋＋…＋>也成立．

3(k?1)?124(k?1)?1(k?1)?2由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，

4

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11125都有＋＋…＋>，

n＋1n＋23n＋124∴a的最大值为25. 规律总结：

1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明． 2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是须清楚．

[再练一题]

111

3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…

23n＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．

【解】 假设g(n)存在，那么当n＝2时， 由a1＝g(2)(a2－1)，

1

1＋－1?，∴g(2)＝2； 即1＝g(2)??2?当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 111

1＋?＝g(3)?1＋＋－1?， 即1＋??2??23?∴g(3)＝3，

当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)， 1111＋?＋?1＋＋? 即1＋??2??23?111

1＋＋＋－1?， ＝g(4)??234?∴g(4)＝4，

由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明： 当n≥2，n∈N＋时，

等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． (1)当n＝2时，a1＝1，

1111

＋＋－.这一点必3k＋23k＋33k＋4k＋1

?1＋1－1?＝1， g(2)(a2－1)＝2×?2?

结论成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立， 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立， 那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak

5

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