二维FFT的程序实现及其应用(2)

集美大学学士学位论文

其中

1la0??f(l)dtl?l1lk?tak??f(t)cosdt k?1,2,? (1-3-2)

l?llb1lk?tk?l??lf(t)sinldt这时 f(x)?12l?l??lf(t)dt??1lk?(t?x)k?1l??lf(t)cosldt 当l??时

1l2l??lf(t)dt?1?2l???f(t)dt?0 (l??) 记

?0?0,?1??l,?,?k?k?l,?

??k??k??k?1??l这时(1-3-3)右端第2项为：

1?l????k??k(t?x)dt?k?1??lf(t)cos??(?k)??k

k?1其中

?(?1k)???l?lf(t)cos?k(t?x)dt

当l??时，形式上有

f(x)???1?0?(?)d?????0d????f(t)cos?(t?x)dt 上式可以改写为

f(x)???0[a(?)cos?x?b(?)sin?x]d?

其中

a(?)?1?????f(t)cos?tdt

b(?)?1?????f(t)sin?tdt 在(1-3-4)中，令

F(?)?1?????f(t)cos?(t?x)dt 由F(?)是连续函数（证明见参考文献[8]），积分

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(1-3-3)

(1-3-4)

(1-3-5)

(1-3-6)

叶东明：二维FFT的程序实现及其应用

J(?,x)???1?0d?????f(t)cos?(t?x)dt (1-3-7)

存在。

定义1.3.1 当???时，由(1-3-7)得到的积分公式称为f(x)的Fourier积分，

1记为

f(x)~????0d?????f(t)cos?(t?x)dt (1-3-8)

在f(x)的Fourier积分中，由于?f(t)cos?(t?x)dt是?的偶函数，由(1-3-8)得

??1f(x)~2????????d?????f(t)cos?(t?x)dt (1-3-9)

以积分?f(t)sin?(t?x)dt存在，且为?的奇函数，所以

?l?ld??f(t)sin?(t?x)dt?0

???令l??，其Cauchy积分主值为0，即

?1?V.P.d?f(t)sin?(t?x)dt?0

2???????因此

12?1 ?2?1 ?2?f(x)~?????d??f(t)[cos?(t?x)?icos?(t?x)]dt?????????d??f(t)exp[?i?(t?x)]dt?? (1-3-10)

??exp(i?x)d??f(t)exp(?i?t)dt???如果f(t)在x点满足Fourier积分收敛条件，则(1-3-10)右端等于f(x)。由此得Fourier积分的复数形式

?1?f(x) ?exp(i?x)d??f(t)exp(?i?t)dt (1-3-11)

??2????类似地，我们还可以得到Fourier积分另外一种复数形式

?1?f(x) ?exp(?i?x)d?f(t)exp(i?t)dt (1-3-12) ??????2?1.4 Fourier变换

应用Fourier积分公式解决实际问题时，常把它改写成积分变换的形式。 定义1.4.1 若实变量的复值函数

f(t) ?f1(t)?if2(t), -??t? ?

(1-4-1)

在(??,?)上可积和绝对可积，其中f1(t),f2(t)为实值函数，则含参变量? 的积分

F(?)??f(t)exp(?i?t)dt, -???? ?

??? (1-4-2)

F(?)称为f(t)把函数f(t)变为函数F(?)，称为Fourier正变换，简称为Fourier变换。

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集美大学学士学位论文

的Fourier变换或谱函数，f(t)称为F(?)的Fourier逆变换或原函数。

定义1.4.2 对应Fourier变换(1-4-2)由Fourier积分可得

1?f(t)?F(?)exp(i?t)d? (1-4-3)

2????称(1-4-3)为Fourier变换(1-4-2)的逆变换或称为反演公式。逆变换使我们可以从一个时间函数的Fourier变换F(?)来确定这个时间函数f(t)。

当函数f(t)和函数F(?)由公式(1-4-2) 、(1-4-3)相联系则称函数f(t)和F(?)为

Fourier变换对，记为

f(t)~F(?)

由Fourier积分(1-3-11)可以将Fourier变换及逆变换作为变换对写成较为一般的形式：

F(?)??1?f(t)exp(ip?t)dt???f(t)??2?F(?)exp(?ip?t)d???? (1-4-4)

其中i??1，?1,?2满足?1.?2?

1，p取+1或-1。 2?在许多资料中还直接规定?1??2?1，取p??1，这种取法虽然不会产生本质

错误，但当正逆变换配对时会引起一些混淆。解决这个矛盾的一个比较合理的方案是定义一个新的变量s，??2?s，s表示频率，Fourier变换对取为

F(s)??f(t)exp(?i2?st)dt???f(t)??F(s)exp(i2?st)ds??? (1-4-5)

1.5 离散Fourier变换 如果想用计算机来计算和处理Fourier变换就需要将Fourier变换离散化。

若自变量t是定义在时间轴上的连续变量，我们则称f(t)是连续时间函数。若自

变量t仅在时间轴的离散点上取值，则称f(t)为离散时间函数，或称为离散时间序列,即

fk,k??,?N,?N?1,?,?1,0,1,?,N,?

定义1.5.1 对于任一属于l1空间的离散时间序列{Ak}称

x(?)?k????A?kexp(?i?k) (1-5-1)

为{Ak}的离散时间Fourier变换DTFT(discrete time Fourier transform)。x(?)为?的

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叶东明：二维FFT的程序实现及其应用

函数。 由于

x(??2?)?k????A?kexp(?i(??2?)k)?x(?)

故x(?)是周期为2?周期函数。对应(1-5-1)可得DTFT逆变换公式为

1?x(?)exp(i?k)d? (1-5-2) ?Ak?2???

离散时间Fourier正逆变换也可以定义为

????x(s)???Akexp(?i2?sk)k??? ???Ak??1/2?1/2x(s)exp(i2?ks)ds其中x(s)是以1为周期的周期函数。DTFT对也记为Ak~x(s)。

对于Fourier变换

F(s)?????f(t)exp(?i2?st)dt 取充分大的有限区间[?T,T]，使得f(t)的Fourier积分在[?T,T]外充分小，以至可以近似地认为

F(s)??T?Tf(t)exp(?i2?st)dt

将[?T,T]2N等分，则子区间长度和分点为

?t?NT, tk?k?t, k??N,?N?1,?,N?1,N 这时

F(s)??N?t?N?tf(t)exp(?i2?st)dt ??N?1(k?1)?t

(t)exp(?i2?st)dtk??N?k?tf在每个小区间若用左矩形求积公式计算数值积分，并再将s离散化取

?s?1N?t, sj?j?s, j?0,1,?,N?1 这时

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(1-5-3) (1-5-4)

(1-5-5) (1-5-6)

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N?1F(sj)? ?k??N??1f(tk)exp(?i2?jk)?tNk??N?N?1i2?jki2?jkf(tk)exp(?)?t??f(tk)exp(?)?tNNk?0 ??k?0N?1N?1i2?j(k?N)i2?jtf(tk?N)exp(?)?t??f(tk)exp(?)?t (1-5-7)

NNk?0i2?jk)?tNk?0 j?0,1,?,N-1 ??[f(tk?N)?f(tk)]exp(?N?1记

Ak?[f(tk?N)?f(tk)]?t k?0,1,?,N-1 (1-5-8)

则得到

F(xj)?xj??Akexp(?k?0N?1i2?jk) j?0,1,?,N-1 (1-5-9) N利用数值积分的复化左矩形公式得到的式(1-5-9)给出了序列A0,A1,?,AN?1和序列

x0,x1,?,xN?1之间的关系。

定义1.5.2 对长度为N的复序列A0,A1,?,AN?1称

?jkxj??AkWN j?0,1,?,N-1 (1-5-10)

k?0N?1为序列{Ak}的离散Fourier变换DFT(discrete Fourier transform)，或称为DFT正变换。其中

?jki??1,WN?exp(

?i2?jk)。 N 由DFT正变换(1-5-10)可得对应的DFT逆变换为

1N?1Ak??xjWNjk k?0,1,?,N-1 (1-5-11)

Nj?0

DFT正变换公式(1-5-10)和逆变换(1-5-11)给出了序列(A0,A1,?,AN?1)与序列

(x0,x1,?,xN?1)之间的线性互逆关系，可记为

{Ak}~{xj}

1.6 二维Fourier变换

定义1.6.1

对于两个实变量x,y的复值函数f(x,y)，称含两个参变量u,v的积分

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