实数完备性基本定理的内在关系(2)

实数完备性基本定理的内在关系

界.由区间套定理可“套”出一点x0?[a,b].可证明当x?x0时f(x)无界

证明：假设f(x)无界.[a,b]将二等分，则必有一个区间使得f(x)在其上无界.假设在[a,a?ba?b]函数无界，记上述小区间[a,]为[a1,b1]，再将[a1,b1]二等22分，如此继续???，便得出闭区间列{[an,bn]}，由区间套定理可“套”出一点

x0?[a,b].可证明当x?x0时f(x)无界.

这就与函数只有第一类间断点相矛盾，假设不成立. 4.用有限覆盖定理证明

分析： 对?x'?[a,b] ，先证 ??'?0 ，使f(x)在U(x',?') 内有界.再利用有限覆盖定理.将无穷多个“界”转化为有限个“界”来处理，其中最大的那个就是f(x)在[a,b]上的界[8].

证明：因为f(x)在?a,b?上每点存在左右极限,由函数极限的局部有界性,

?x0??a,b?,?U(x;?x)与Mx?0,使得

?t?U(x;?x),f(t)?Mx.

所有这种领域的集合

H??U(x;?x)x??a,b??，

成为?a,b?的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在?a,b?的有限开覆盖

~H?Uxi;?xi1?i?n?H.

????~~maxHH????若取M?1,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域a,ba,bMx?i?nx1U?xk;?xk?,于是

f(x)?Mxk?M.

所以函数有界.

很明显虽然四个定理都能证明这一命题，但证明的难易程度不一样，证法一较为简单 .所以在实际应用实数完备性定理证明时，要注意定理的选取.

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实数完备性基本定理的内在关系

参考文献：

[1] 毛羽辉.数学分析选论[M].上海：科学出版社，2003.

[2] 李成章、黄玉民.数学分析第二版[M].上海：科技出版社，1999： 第三章. [3] 陈纪修.数学分析[M].北京：高教出版社，1999：第三章. [4] 陈传璋.数学分析[M].北京：高教出版社，1987： 第三章. [5] 吉米多维.数学分析习题集[M].安徽：人民出版社，2005. [6] 张筑生.数学分析新讲[M].北京：北京大学出版社，1990. [7] 江泽坚、孙善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2006. [8]（美）克来因.今数学思想(第三册)[M].上海: 科学技术出版社, 1984.

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