南京审计学院《微积分（二）》同步练习册打印版（76页）

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说明：为方便复习，上学期第五章“不定积分”的练习及答案，参见本练习册第36页．

2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“?,?,?”关系，第六章 定积分 §6.1 定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）?20x?1dx；

(2）?1?1sinxdx；

2(3）?2?11?x2dx.

并给出必要的理由）.

(1）?110x2dx 与

?0xdx； (2）?2x21dx 与

?21xdx；

??(3）

?20sinxdx 与

?20xdx．

3. 利用定积分的性质，估计I??2x0xe?dx的大小.

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4. 设f?x?在区间?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且满足f?1??3试证：在?0,1?内至少存在一点?，使得f?????0.

?f?x?dx，

130(2）

?20?x2,x?1． f?x?dx，其中f?x????2,x?1

5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）

6*.根据定积分的定义，将极限lim1??2?n?????sin?sin?sin?表达

n??nnnn??1??1xdx；

1为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：

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§6.2 微积分基本定理

2．求下列极限：

1．求下列函数关于x的导数： (1）?x?2?sin3t?11tdt； (3）?x2t2xedt；

(4*）?x0?x?t?sintdt．

(2）?1xtet2dt；

x(1）lim?0tanudu； (2）x?0x2limx1x?0?0x3?eu2?1?du；

(3）lim1x2x?0x4?0(1?cosu)du．

3．求函数f?x???x?u?1??u?2?e?u20du的极值点．

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4．计算下列定积分： (1）?21?x321x2?x3dx； (2）?1?11x2sindx； ?x

?(3）?2102?cosxdx；

(4）?3?2min?1,x2?dx；

2(5）?2?1f?x?dx，其中f?x?????xex,x?1??xex,x?1；

5．设f?x?在?0,1?上连续，且满足f?x???2x?3?10f?x?dx，试求f?x?．

6*．求解lim??111?n???2n?1?2n?2???2n?n??（提示：

利用定积分的定义）．

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§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法

1. 试利用定积分的换元法计算下列积分： (1）2. 利用函数的奇偶性计算 ?1?1?x5?3x2?x1?x2dx.

??ln2e?1dx； (2）?x2x?1?x?1?dx；

20 (3）?11?x222x2dx； (

14）?2x0x4?2x2?2dx；

3. 设f?x?是R上的连续函数，试证：对于任意常数a?0，均有

a3f?x2?dx?1a2?0x2?0xf?x?dx.

4*. 设f?x?是R上的连续函数，并满足?x?t0f?x?t?edt?x2，试求f?x?.

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